Producto interno y las normas de vectores aleatorios

Question

De wikipedia interior de la página del producto: el valor esperado del producto de dos variables aleatorias es un producto interior $\langle X,Y \rangle = \operatorname{E}(X Y)$. Cómo se puede generalizar en el caso de vectores aleatorios?

O más en general, para cualquier medida de probabilidad. Deje $\mathbb{P}$ ser un conjunto de todas las medidas de probabilidad definida en $X$, y deje $\mathbb{M}$ ser lineal lapso de $\mathbb{P} - \mathbb{P}$. Cómo un producto interior puede ser definido en $\mathbb{M} \times \mathbb{M}$?

He mirado a la norma como $$\|P - Q\|= \sup_{f} \left| \int f \, dP - \int f \, dQ \right|$$ Pero parece que esta norma no satisface la ley del paralelogramo (por lo $\langle x, y\rangle = \frac{1}{4}( \|x + y\|^{2} - \|x - y\|^{2})$ truco no puede ser utilizado). Es posible la prueba de esto?

Answer 1

$\mathbb M$ sería el espacio de medidas firmadas en $X$ (probablemente con respecto a un determinado $\sigma$-álgebra). Este es un espacio de Banach con la norma de la variación total, pero no un espacio de Hilbert, y por lo tanto no tiene un producto interno natural.