Un tipo especial de polinomio:$p(x)=x^{2}(4x^{2}-3)^2$

Question

Coonsider el polinomio $p(x) = x^2(4x^2-3)^2$.

Este polinomio es especial porque:

1. Todos los locales de la maxima $M_i$ son de la forma $p(M_i)=1$
2. Todos los mínimos locales $m_i$ son de la forma $p(m_i)=0$
3. y $p(-1)=p(1)=1$
4. El polinomio no tiene otra ceros, locales máximos o mínimos locales.

Mis preguntas son:

• ¿qué condiciones debe tener un polinomio satisfacer con el fin de tener las características anteriores?
• ¿tienen un nombre específico?

Gracias.

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Estos son los elementos de la familia que tengo hasta ahora:

$$p_1(x)=x^2 (4x^2-3)^2$$ $$p_2(x)=x^2 (16 x^4-20 x^2+5)^2$$ $$p_3(x)=x^2 (64 x^6-112 x^4+56 x^2-7)^2$$

Alguien puede encontrar el patrón? ¿Qué es $p_4(x)$?

Answer 1

Creo que usted encontrará los resultados y las técnicas de los siguientes papel útil en este sentido.

MR1752251 (2001c:11035) 11D25 (11D41 11G05 11G30)
Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A.(5-NEWC)
Cuando Newton se reunió Diophantus: un estudio de racionales derivadas de polinomios
y su extensión a la cuadrática campos.
J. Teoría de los números 81 (2000), no. 2, 210-233.
http://dx.doi.org/10.1006/jnth.1999.2473

Este es un interesante documento, que analiza el problema de determinar el conjunto de $D(n)$ "$k$derivado de" univariante polinomios de grado $n$ (donde un polinomio $f \in k[x]$ $k$derivado de si $f$ y cada uno de sus sucesivos derivados tiene todas las raíces en el campo de tierra $k$). Definir de dos polinomios $f_1,f_2\in k[x]$ equivalente si $f_1(x)=r f_2(s x+t)$ $r,s,t\in k$, $r,s \neq 0$. Luego de arriba a la equivalencia, la siguiente que se sabe acerca de $\mathbb Q$derivadas de polinomios:

$$D(1)=\{x\};\quad D(2)=\{x^2,x(x-1)\};$$ $$D(3)=\{x^3\}\cup\bigg\{x(x-1)(x-a)\ :\ a=\frac{w(w-2)}{w^2-1},w\in \mathbb Q\bigg\};$$ $$ D(4)\supseteq \{x^4\}\cup\left\{x^2(x-1)(x-a)\ \left|\ \begin{array}{l}a=\frac{9(2w+z-12)(w+z)}{(z-w-18)(8w+z)}, (w,z)\in E(\mathbb Q),\\ E\colon z^2=w(w-6)(w+18)\end{array}\right.\right\};$$ $$ D(n)\supseteq \{x^n, x^{n-1}(x-1)\}\ {\rm for}\ n\geq 5.$$

Los autores demuestran que la determinación de la $D(n)$ en general delega en dos conjeturas: (1) que no cuártica con cuatro distintas raíces es $\mathbb Q$derivados; (2) que no quintic de tipo $x^3(x-a)(x-b)$, $a\neq b,\ a,b\neq0$, es $\mathbb Q$-de la que deriva. La primera conjetura puede ser resuelto mediante la determinación de todos los puntos racionales en un hyperelliptic superficie de grado 10. La segunda conjetura puede ser resuelto mediante la determinación de todos los puntos racionales de una curva de género 2 (E. V. Flynn ["$\mathbb Q$derivadas de polinomios", Preprint; por revr.] ahora se ha demostrado que esta segunda conjetura). Los autores también discuten brevemente la situación de la $K$derivadas de polinomios para cuadrática extensiones $K$$\mathbb Q$; hay, por ejemplo, la cuártica $y^2=x^2(x-1)(x-\frac{37-20\sqrt{3}}{13})$ ${\mathbb Q}(\sqrt{3})$derivado de polinomio.

Revisado por Andrew Bremner