Respecto al espacio tangente de un exótico$\mathbb R^4$

Question

Mi intuición geométrica es muy pobre, así que mi enfoque ingenuo a esta pregunta es "si $M$ es un exótico $\mathbb R^4$, $TM$ debe ser algo parecido a $\mathbb R^8$, que no es exótico". Por supuesto, mi declaración "como $\mathbb R^8$" es probablemente la basura.

Por lo tanto, mi pregunta concreta es: es el espacio de la tangente de un exótico $\mathbb R^4$ "agradable" colector? Yo personalmente no la considero exóticas colectores "agradable" (de nuevo, porque de mi pobre intuición geométrica, aunque ciertamente son muy respetables objetos de estudio). Soy de mente abierta acerca de lo que los colectores de un topologist consideraría como "agradable".

Answer 1

Un exótico$\Bbb R^4$ (permítanos denotarlo por$\Sigma$) es homeomorfo al$\Bbb R^4$ habitual, por lo que$\Sigma$ es contráctil. Cualquier paquete de vectores sobre un colector contráctil es trivial, y por lo tanto el paquete tangente$T\Sigma$ es trivial:$T\Sigma \cong \Sigma \times \Bbb R^4$. Por lo tanto, tenemos que$T\Sigma$ es homeomorfo a$\Bbb R^8$. Como se sabe que no hay exóticos$\Bbb R^n$ 's para$n \neq 4$, se sigue que$T\Sigma$ es difeomorfo a$\Bbb R^8$ para cualquier exótico$\Bbb R^4$$\Sigma$.