Aproximación de registro (n!)

Question

Acabo de terminar de cálculo 1 (derivadas e integrales) entonces me tome otro curso de cálculo 2. En el video el profesor habla sobre la serie de $$\frac{n!}{(\frac{n}{e})^n}$$

Se muestra la aproximación del numerador ($n!$) y el denominador ($(\frac{n}{e})^n$) se aproxima a $\log(n!)$ $$\sum_{k=1}^n\log(k) \approx \int_1^n\log(x) \text{d}x$$

Estoy muy curioso porque creo que el $\log(n!)$ es una función de paso. He probado con calculadora gráfica aquí pero muestra continua de la función. Es la calculadora mal? Debido a $n!$ número entero como un dominio de modo $\log(n!)$ debe ser también una función de paso?

Mi segunda pregunta es ¿podemos aplicar la integral de una función de paso? ¿Cuál es el resultado diferente de función continua, y ¿cómo podemos distinguir. Por ejemplo, cuando tenemos $f(x) = x^2$, y queremos hacer integral con el paso de dominio (número entero) o todo el dominio?

Aquí está el video (se puede ir y verlo a las 2:30)

Soy un principiante en este campo por favor explicar un paso a paso y fácil para principiantes para mí.

Answer 1

En primer lugar, $\log(n!)$ no es una función de paso, porque no es una función definida en (un intervalo de) los reales; está definido en un conjunto discreto. Una función de paso, hablando a grandes rasgos, es una función con un discreto gama. Esta es una función discretos en el dominio.

En segundo lugar, tanto en $\displaystyle\sum_{k=1}^n\log k\;$ $\displaystyle\int_1^n\log x\,\mathrm d\mkern1mu x\;$ son funciones de la $n$. Su profesor es afirmar que estas dos expresiones son equivalentes a $\infty$ (denotado $\sim_\infty$) en un muy preciso sentido, no de que sus valores son aproximadamente de la misma (denotado $\;\approx$), que no es un definidas matemáticamente noción.

La definición precisa de equivalencia aquí es que $$\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\log k}{\displaystyle\int_1^n\log x\,\mathrm d\mkern1mu x}=1.$$

Así pues, podríamos decir, muy muy groso, que $\;\approx\;$ significa 'absolutamente casi iguales', mientras que $\;\sim\;$ significa 'comparativamente casi iguales'.

Answer 2

Usando la suma de Abel es muy fácil ver que $$ S_ {n} = \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ log \ left (n \ right) = \ sum_ {k = 1} ^ {n} 1 \ cdot \ log \ left (n \ right)$$ $ $ = n \ log \ left (n \ right) - \ int_ {1} ^ {n} \ frac {\ left \ lfloor t \ right \ rfloor} {t} dt$$ where $ \ left \ lfloor t \ right \ rfloor$ is the floor function. Since $ t-1 \ leq \ left \ lfloor t \ right \ rfloor \ leq t$ we have $ $ n \ log \ left (n \ right) -n-1 \ leq S_ {n} \ leq n \ log \ left (n \ right) -n +1 + \ log \ left (n \ right). ps

Answer 3

Primera pregunta : existe una función llama a la función Gamma que es un "prohibido el paso" factorial. Esto significa que es una curva suave que de alguna manera se extiende el concepto de factorial para cualquier real (complejo) de los números. En particular, para cualquier entero positivo, el valor de la función gamma y la clásica función factorial son los mismos (cambiado por $1$). Te doy algunos valores : $$ \Gamma(1) = 0! = 1 \\ \Gamma(2) = 1! = 1 \\ \Gamma(3) = 2! = 2 \\ \Gamma(4) = 3! = 6 \\ \Gamma(3/2) = \frac{1}{2}! = \frac{\sqrt{\pi}}{2} $$ Muchos de matemáticas softwares pueden evaluar no integer factorial mediante el uso de esta función gamma !

Segunda pregunta : Sí ! Simplemente cortar los pasos en una suma de integrales. Pensar en la función floor $f(x) = \lfloor x \rfloor$. Y supongamos que queremos calcular la integral : $$ \int_0^3 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 f(x) dx + \int_2^3 f(x) dx \\ = \int_0^1 0\ dx + \int_1^2 1\ dx + \int_2^3 2\ dx = \\ 0 + 1 + 2 = 3 $$ Por otro lado, si se considera simplemente la no-función de paso de $g(x) = x$$\int_0^3 g(x) dx = 9/2$, que está cerca, pero no exactamente el mismo que el de $f(x)$. Basta con dibujar las dos funciones y $\textit{see}$ el área bajo su curva !

Answer 4

No es terriblemente difícil comparar:$$ \color{blue}{C_n} = \int_{1}^{n}\log(x)\,dx =\color{blue}{n\log(n)-n+1},\qquad \color{purple}{D_n} = \sum_{k=1}^{n}\log(k).$ $ Asumiendo$n\geq 2$, suma por partes lleva a:$$ \color{purple}{D_n} = n \log n -\sum_{k=1}^{n-1} k \log\left(1+\frac{1}{k}\right)=\color{blue}{n\log(n)-n+1}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(1-k\log\frac{k+1}{k}\right) $ $ pero:$$ 0\leq 1-k\log\left(1+\frac{1}{k}\right)\leq \frac{1}{2k} $ $ por lo tanto:

ps

Answer 5

No hay un estándar truco aquí. En lo que sigue, $a,b,k,n$ se refieren a variables de tipo integer, $x$ a una variable real, y $\lfloor \ \rfloor$ se refiere a la función del suelo: $\lfloor x \rfloor$ es el entero más grande menor o igual a $x$.

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En primer lugar, podemos relacionar la suma a la integral de una función de paso mediante el hecho de $$ f(n) = \int_{n}^{n+1} f(\lfloor x \rfloor) \, \mathrm{d} x = \int_{n-1}^{n} f(\lfloor x+ 1 \rfloor) \, \mathrm{d} x $$ y, en consecuencia, $$ \sum_{k=a}^b f(k) = \int_a^{b+1} f(\lfloor x \rfloor) \, \mathrm{d} x = \int_{a-1}^{b} f(\lfloor x+ 1 \rfloor) \, \mathrm{d} x $$ Esta es, probablemente, lo que hacía pensar en el paso de las funciones; mientras que $\log(k)$ no es por sí mismo una función de paso, $\log \lfloor x \rfloor$ es. (la otra posibilidad es que usted estaba pensando en algo como $\sum_{k=1}^{\lfloor x \rfloor} \log k$)

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En segundo lugar, para cualquier función no decreciente $f(x)$, tenemos las desigualdades

$$ f(n-1) \leq f(\lfloor n \rfloor) \leq f(n) \leq f(\lfloor n+1 \rfloor) $$

que se traslada a las integrales:

$$ \int_ {- 1}^{b-1} f(x) \, \mathrm{d} x \leq \int_a^b f(\lfloor x \rfloor) \, \mathrm{d} x \leq \int_a^b f(x) \, \mathrm{d} x \leq \int_ {+1}^{b+1} f(\lfloor x \rfloor) \, \mathrm{d} x $$

y, en consecuencia,

$$ \int_ {- 1}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x \leq \sum_{k=a}^b f(k) \leq \int_a^{b+1} f(x) \, \mathrm{d} x $$

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Aplicando esto al problema en cuestión, obtenemos

$$ \int_{1}^{n} \log x \, \mathrm{d} x \leq \sum_{k=2}^n \log k \leq \int_2^{n+1} \log x \, \mathrm{d} x $$

que podemos usar para realizar rigurosas estimaciones sobre el tamaño de la suma.

(Yo se separó de la $k=1$ plazo para evitar problemas con las integrales; pero es el cero de todos modos por lo que no afecta el total. Usted podría obtener una estimación más precisa mediante la división de más términos, la informática, exactamente, a continuación, agregar el resultado de nuevo en la desigualdad)