Número de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas

Question

Consideremos el sistema de ecuaciones polinómicas dado, donde todos los coeficientes están en $\mathbb{C}$ : $$\begin{cases} y^n=P(x)\\ Q(x,y)=0\end{cases}$$ Me gustaría establecer que o bien este sistema tiene soluciones $(x,y)\in\mathbb{C}$ para todos $x \in \mathbb{C}$ o bien tiene soluciones para un número contable (o incluso mejor, finito) de $x\in\mathbb{C}$ . No estoy completamente seguro de que esto sea cierto, pero todavía no he encontrado ningún contraejemplo.

Hasta ahora, he encontrado que si tenemos soluciones para infinitos $x$ entonces tenemos soluciones para un número infinito de $y$ .

¿Alguna idea?

Answer 1

Se puede determinar la resultante $R(x)=Res_y(y^n-P(x),Q(x,y))$ de ambos polinomios eliminando $y$ . Si es el polinomio cero, entonces los polinomios tienen un factor común, lo que significa que para cualquier $x$ se encuentra al menos una $y$ para que $(x,y)$ una solución (del factor común y, por tanto, del sistema).

Si la resultante no es cero, entonces $R(x)$ es un polinomio. Sólo en las raíces de este polinomio encontrarás entonces al menos una $y$ para que $(x,y)$ es una solución del sistema.

Answer 2

He entendido mal la pregunta y editaré esto más tarde con (espero) una respuesta.

Dado cualquier $x \in \mathbb{C}$ existe $n$ posible $y \in \mathbb{C}$ tal que $y^n = P(x)$ (posiblemente con multiplicidad, si digamos $P(x) = 0$ ). Sin embargo, determinar si el sistema tiene una solución (y cuántas) depende completamente de la estructura de $Q(x,y)$ . Considere los siguientes ejemplos.

Si $Q(x,y) = y^n - P(x)$ , entonces cualquier par $(x,y)$ de arriba satisface el sistema, por lo que obtenemos incontables soluciones.

Si $Q(x,y) = y^n - P(x) +1$ entonces la primera relación obliga a $y^n - P(x) = 0$ para que $Q(x,y) = 1$ para todos $(x,y)$ que satisface la primera. Por lo tanto, el sistema no tiene ninguna solución en este caso.