$M$ es compacto iff$f:M\to\mathbb{R}$ tiene un infimo positivo.

Question

Un espacio métrico $M$ es compacto si, y sólo si, cada positivo y real de los valores de función continua en $M$ tiene un resultado positivo de infimum.

Mi planteamiento :

Si $M$ es compacto y $f:M\to\mathbb{R}$ un real valor continua y positiva en $M$. A continuación, $f(M)\subset\mathbb{R}$ es un subconjunto cerrado y acotado de $\mathbb{R}$. Deje $\alpha=\inf f(M)$ $f$ es positivo,$\alpha>0$. Por otro lado, ¿Cómo debo demostrar esto?? Deje $f:M\to\mathbb{R}$ continua y positiva de la función en $M$, con infimums postive, a continuación, $M$ es compacto. Saludos!

Answer 1

Si$f$ no tiene infimum$> 0$, entonces$f^{-1}((\epsilon, \infty)) \ne M$ para cualquier$\epsilon > 0$.

Answer 2

Para la inversión de implicación supongamos que cada función positiva ha positiva infimum. Entonces el recíproco de cada función positiva (positivo) tiene un resultado positivo de infimum, decir $\epsilon$. Así que la función original fue delimitada por $1/\epsilon$. Por lo tanto, cada positivos función está acotada. Ahora vamos a $g \colon M \to \mathbb R$ ser una función arbitraria y considerar la posibilidad de $G(x)=|g(x)|+1$. Que es positivo, es acotada. Esta muestra $g$ es limitada, porque si se va al infinito en cualquier dirección, a continuación, $G$ va hacia el infinito positivo, contradiciendo cómo es acotada. Llegamos a la conclusión de cada función continua en $M$ está acotada. Esto se conoce como pseudocompactness. Para el resto de la prueba me remito aquí.