Pregunta con respecto a la factorización canónica de$n!$?

Question

El problema es: escribir 101! en la forma canónica.
Lo resuelto por tratar de encontrar la máxima potencia de cada factor principal factor de menos de 101. Cuando se ejecuta factor() función que utiliza la TI-89, me di cuenta de que el poder de cada primer factor de disminución. Así que supongo que tengo dos preguntas:

1. ¿Cómo se puede escribir esta idea usando la notación Matemática? Yo soy de pensar de $\prod$ $\sum$ la notación, pero no sé cómo expresar esta idea.
2. Como programador, quiero escribir un programa para manejar esta situación. Pude comprobar cada primer factor, sin embargo, tengo curiosidad acerca de la disminución de estos el primer factor. ¿Hay algún patrón detrás de la escena? Si la hay, sería aumentar mi algoritmo un poco.

Actualización
Basado en Aryabhata la respuesta, mi intento es: $$\prod_{i=1}^{\infty}p_i^{\sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor}$$

¿Tiene sentido?

Gracias.

Answer 1

Puede usar la fórmula de Legendre de que la mayor potencia de un primer$p$% que divide$n!$ está dada por

ps

Tenga en cuenta que, aunque el límite superior dice$$\text{ord}(n,p) = \sum_{k=1}^{\infty} \left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor$, la sumatoria es finita:$\displaystyle \infty$ es cero cuando$\displaystyle \left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor$.

En su caso, los únicos números primos que debe considerar están en el rango$\displaystyle p^k \gt n$.

Por lo tanto, puede escribir$\displaystyle 1 \lt p \le 101$ como

ps

donde$n!$ se define como arriba y$$n! = \prod_{p \le n} p^{\text{ord}(n,p)}$ se ejecuta a través de los números primos.