¿Cómo puede esta función ser continua en todos los puntos?

Question

Tengo un ejercicio en el que necesito determinar qué funciones son continuas para todos los puntos

Nota:$\lfloor x\rfloor$ es el piso de$x$.

La función que necesito considerar es$f(x)= \lfloor x\rfloor+\sqrt{x- \lfloor x\rfloor}$

¿Cómo puedo probar que esta función es continua en valores enteros si ni$\lfloor x\rfloor$ ni$\sqrt{x- \lfloor x\rfloor}$ son continuos en valores enteros?

Puedo determinarlo visualmente desde el gráfico e intuitivamente al considerar valores cercanos a los enteros de ambos lados, pero ¿cómo puedo demostrarlo rigurosamente?

Answer 1

Sugerencia: para cualquier$n\in \mathbb{N}$, tenemos$$\lim_{x\to n-} \lfloor x\rfloor=n-1$$ and $$\lim_{x\to n+} \lfloor x\rfloor=n$ $

Answer 2

$1-{\bf 1}_{\Bbb Q}$ y${\bf 1}_{\Bbb Q}$ están en todas partes discontinuos, pero su suma es$1$, que es continua.