Creo que deberían ampliar un poco en mi anterior respuesta.
Como yo lo veo, hay dos preguntas: ¿generalizada funciones
sentido en cualquier espacio de Hilbert y si no existe un análogo de la
un clásico de representación de Riesz teorema que es válido aquí?
Para responder a la primera pregunta, la primera cosa que tenemos que descartar
es el $\delta$ función como funcional en $L^{2}$ diría yo
que el gran problema aquí es que el $L^{2}$ funciones no existen pointwise--
pueden cambiar su valor en un conjunto de medida cero sin cambiar
la función. Debido a esto, no hay esperanza de hacer sentido de
$\delta$ sobre el espacio de Hilbert.
La natural pregunta entonces se convierte en lo que el espacio que debemos trabajar. Yo
diría que la propiedad más importante de las funciones generales de
es que todos ellos son "suave" en la distribución sentido (es decir,
infinitamente diferenciable). Si esta es la propiedad que desea
ellos tienen, entonces usted necesita, al menos, que el nivel de regularidad en la
las funciones de prueba que se aplican las funciones generales a (ya que por la dualidad
aplicamos todos los derivados de la función de prueba para definir la distribución de la
derivado). Este es esencialmente el trade-off que comúnmente se ve cuando
la definición de los objetos a través de la dualidad: la más estructura en la
objetos de prueba, menos estructura que usted necesita en su doble los objetos a
obtener propiedades atractivas. Este camino natural, nos lleva a la teoría de la
distribuciones, que son la lineal continua y funcionales en el
espacio de $C_{0}^{\infty}$, con una particularmente desagradable (no incluso metrizible) pero totalmente natural de la topología.
Para una secuencia de funciones de prueba para converger en $C_{0}^{\infty}$
necesitamos dos cosas: que necesitan para vivir en una sola compacto
(así que no hay de ampliar infinitamente apoyos) y todos los derivados de parcial
tiene que convergen en el infinito de la norma, es decir, $\|\partial^{\alpha}\varphi_{n}-\partial^{\alpha}\varphi\|_{\infty}\to0$
para todos los multiindices $\alpha.$ Continuidad de un funcional lineal
funcional $T$ en el dual significa que si $\varphi_{n}\to\varphi$
en esta topología, a continuación, $T\varphi_{n}\to T\varphi.$ un comentario,
esto no es suficiente para especificar la topología ya que no estamos trabajando
en un espacio métrico. Para demostrar que este espacio no es metrizible, nos
realmente tendría que ir a través de los detalles nitty gritty de su
de la construcción. No es demasiado terrible si usted tiene un fondo en topológico
espacios vectoriales, pero no es edificante, si no por lo que no voy. El
propiedad importante para nuestros propósitos es que no hay espacio métrico
con la misma topología como el que nos dio a $C_{0}^{\infty}.$ En
en particular, no admite una estructura de espacio de Hilbert. Ahora, Hilbert
los espacios son todos auto-dual (este es el teorema de Riesz usted está acostumbrado a),
lo que significa que $C_{0}^{\infty*}$también no admitir a un espacio de Hilbert
estructura. La respuesta a la primera pregunta es, por tanto, no. Generalizada
las funciones no tienen sentido sobre un espacio de Hilbert.
Antes de ir a la segunda pregunta, permítanme comentar que hay
una gran representación de Riesz teoremas.' Todo lo que estos teoremas
tienen en común es que a través de muchas agradable espacios hay una clase natural
de continuo lineal funcionales (en un espacio de Hilbert, se le da
por el interior del producto; en $L^{p}$ está dada por la multiplicación por
una $L^{q}$ función y justificados por el Titular de la desigualdad; en $C_{0}$
está dada por la integración en contra de una medida de Borel). El rasgo común
de Riesz-tipo de teoremas es que dicen que todos los funcionales pertenecen
a esta clase natural de funcionales. La obvia clase en nuestro caso
es la integración en contra de medidas de Borel (puesto que nuestras funciones son todavía
continua), pero no podemos aplicar la clásica de Riesz-teorema de Markov
ya que hemos cambiado la topología del espacio en el que estamos trabajando. Es
resulta que el resultado es falso, en ningún caso: los objetos que están trabajando
con tener demasiada estructura de las medidas a ser capaz de distinguir
entre todas ellas.
El hecho de que el $\delta$ función se representa como una medida cuando
visto como un funcional sobre $C_{0}^{\infty}$ es una manifestación de
el hecho de que todos los positivos de las distribuciones (que es todo lineal continua
funcionales $T$ $C_{0}^{\infty}$ con la propiedad de que si $f\geq0$
a continuación,$Tf\geq0$) son representados como medidas.
Para un ejemplo de por qué no podemos aplicar Riesz-Markov aquí, no creo que la generalización de la función dada por la derivada de la delta de Dirac es representado como una medida.
