Las funciones de generación son increíblemente útiles para resolver todo tipo de problemas combinatorios. Sin embargo, cada vez que se usan, la función de generación siempre se expande alrededor de$x=0$ para obtener la serie. ¿Por qué es este el caso? ¿Existe un uso / interpretación combinatoria de una "función generadora" expandida alrededor de otros puntos en la línea (o el plano complejo)?
Respuesta
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Buena pregunta! Para una cosa, cualquier potencia de la serie $$f(x) = \sum_n a_n (x-a)^n$$ may be converted into a power series based around $0$ by taking $$g(x) = f(x+a) = \sum_n a_n x^n.$$ y el poder de la serie de esta forma son más convenientes para trabajar con. Por ejemplo, con frecuencia se desea multiplicar funciones de generación, pero ¿cómo debemos interpretar un producto de la potencia de la serie de la forma
$$\left(\sum_n a_n (x-a)^n\right)\left( \sum_n b_n (x-b)^n\right)?$$ It's not clear whether we should expand it as a power series in $(x-a)$ or $(x-b)$, y es posible que no pueda hacer cualquiera.
En la combinatoria utilizamos generalmente sólo formal de alimentación de la serie, lo que significa más o menos que no queremos considerar las cuestiones de convergencia. Por ejemplo, a veces es útil considerar una potencia de la serie, tales como $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty n!x^n$$ which only converges at $x=0$. Here we don't think of $f(x)$ as a function. It's just "a clothesline on which we hang up a sequence of numbers for display", to quote Wilf in the free downloadable book generatingfunctionology. It doesn't make such to evaluate such a power series at a number such as $x=1$, but we can still add, multiply, and perform other operations with such power series and it's often meaningful combinatorially to do so. In this case it's not clear what it would mean to expand $f(x)$ as a power series around a point $\neq0$.
Incluso en el caso de $f(x)$ puede ser expandido alrededor de cualquier punto, no podrá obtener coeficientes enteros. Tomemos, por ejemplo, la función exponencial $$f(x) = e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n$$ which is frequently useful as an exponential generating function. If we expand $f(x)$ around $un=1$ we get $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{e}{n!} (x-1)^n$$ and the number $e = 2.718\cdots$ no tiene ningún daño directo combinatoria importancia.
