Resolviendo$\int\frac{1+\ln x}{x^2\ln^2 x}dx$ por método de partes

Question

1. Necesito resolver el siguiente integral$$\int\frac{1+\ln x}{x^2\ln^2 x}dx$ $ por el método de partes.

Mi intento:$\displaystyle \int\frac{1+\ln x}{x^2\ln^2 x}dx=\int\frac{dx}{x^2\ln^2 x}dx+\int\frac{\ln x}{x^2\ln^2 x}dx=\int\frac{dx}{x^2\ln^2 x}dx+\int\frac{dx}{x^2\ln x}=\int{x^{-2}\ln^{-2}dx}+\int{x^{-2}\ln^{-1}dx}$

Ahora tenemos una sustitucin:$\displaystyle u=\ln^{-2}x\Rightarrow du=-2\ln^{-3}x\cdot\frac{1}{x}dx$ ectr, etcr.

Mi pregunta es: no sé mucho, o debería hacerlo de otra manera. Gracias.

2. Y, necesito resolver la integral:$$\displaystyle\int\frac{\ln^2(a+bx)}{x^n}dx$ $. Sé resolver la integral$$\displaystyle\int\frac{\ln(a+bx)}{x^n}dx$ $ por el método de las partes, por lo que no sé resolver la integral 2 para el método de las partes. Gracias

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Sustituir$\displaystyle u = \frac{1}{x \ln{x}}$ y$\displaystyle du = -\frac{\ln{x}+1}{x^2 \ln{x}^2}dx$.

Esto directamente te da la solución.

Answer 2

Deje$$\displaystyle I = \int\frac{1+\ln x}{x^2(\ln x)^2}dx\;,$$ Let $ \ ln (x) = t \ Rightarrow x = e ^ t \;,$ Then $ dx = e ^ tdt $

Entonces integral$$\displaystyle I = \int \frac{1+t}{e^{2t}\cdot t^2}\cdot e^t dt = \int \left(t^{-1}+t^{-2}\right)\cdot e^{-t}dt = \int t^{-1}\cdot e^{-t}dt+\int t^{-2}\cdot e^{-t}dt$ $

Ahora integración por partes para First Integral

ps

Entonces obtenemos$$\displaystyle I = -t^{-1}\cdot e^{-t}-\int t^{-2}\cdot e^{-t}dt+\int t^{-2}\cdot e^{-t}dt+\mathcal{C} = -\frac{1}{t\cdot e^{t}}+\mathcal{C}$ $

O podemos escribir$$\displaystyle I =\int\frac{1+\ln x}{x^2(\ln x)^2}dx= -\left[\frac{1}{x\cdot \ln x}\right]+\mathcal{C}$ $

Igual que MJay1985.

Answer 3

SUGERENCIA: Let$\ln x=t\implies \frac{dx}{x}=dt$$$\int\frac{1+\ln x}{x^2(\ln x)^2}dx$ $$$=\int\frac{1+t}{e^t(t)^2}dt$ $$$=\int e^{-t}\left(\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}\right)dt$ $

Espero que puedas llevártelo desde aquí

Answer 4

La integración por partes funciona bastante bien aquí.

Primero, procedemos a dividir la integral como se propone en el OP y escribimos

ps

Luego, integramos por partes la primera integral en el lado derecho de$$\int\frac{1+\log x}{x^2\log^2 x}\,dx=\int\frac{1}{x^2\log^2 x}\,dx+\int\frac{1}{x^2\log x}\,dx \tag 1$. Aquí, dejamos que$(1)$ y$u=\frac1x$. Entonces,$v=-\frac{1}{\log x}$ se convierte

ps

Por lo tanto, tenemos

ps