"Smallness" del conjunto de cópulas de Archimedean en el conjunto de todas las cópulas intercambiables

Question

Esto es un poco de una pregunta vaga, supongo. Supongamos por simplicidad considerar bivariante cúpulas. Podemos pensar aboutset $\mathcal{C}$ de todos intercambiables cúpulas: es decir, estas son cúpulas $C: [0,1]^2\rightarrow [0,1]$ que satisfacen la siguiente condición: $$C(u,v)=C(v,u).$$ También podemos considerar un subconjunto $\mathcal{C}_0 \subset \mathcal{C}$ de Arquímedes cúpulas $-$ estas son las cúpulas representan de la siguiente forma: $$C(u,v)=\phi^{[-1]}(\phi(u)+\phi(v)), \text{ where }$$ el generador de $\phi:[0,1] \rightarrow [0,\infty)$ es continua y estrictamente decreciente y convexa función tal que $\phi(1)=0$. La pseudo-inversa de a $\phi^{[-1]}$ se define como $$\phi^{[-1]}(t)= \left\{ \begin{array}{l} \phi^{-1}(t), \quad \text{if } 0\leq t \leq \phi(0),\\ 0, \quad \text{if } \phi(0)<t. \end{array} \right.$$

Mi pregunta es cómo "pequeños" $\mathcal{C}_0$ es en mayor $\mathcal{C}$. No estoy seguro de lo que significa y qué noción de pequeñez sería apropiado aquí.

Answer 1

Encontré una respuesta a mi pregunta en el documento "Resultados de la categoría Baire para cópulas intercambiables" por Fabrizio Durante, Juan Fernández-Sánchez, Wolfgang Trutschnig. Varios resultados se establecen allí. Estos resultados implican que teniendo en cuenta dos métricas diferentes en el espacio de las cópulas bidimensionales, se puede demostrar que el conjunto de cópulas de Arquímedes es escaso en el conjunto de las cópulas exorbitantes.