Construcción de una función de unión de infinitos derivados.

Question

Tengo curiosidad por saber si alguien puede construir una función compuesta por más de uno, por ejemplo,$|x| = x, x\geq 0$ y$-x, x\leq 0$. Sin embargo, requeriría que sea infinitamente diferenciable y en el caso anterior de$|x|$ debe ser infinitamente diferenciable en 0. Sospecho que no podemos encontrar uno, pero si alguien tiene un ejemplo o una explicación rigurosa de por qué no funciona, sería agradecido.

Answer 1

El ejemplo estándar es$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-1/x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}\right.$ $$f$ infinitamente diferenciable en todas partes.