¿Es posible propagar un sistema relativista de partículas en el tiempo usando Verlet?

Question

El algoritmo de Verlet y sus derivaciones son muy populares métodos para integrar las ecuaciones de Newton del movimiento en el tiempo y obtener una trayectoria para un sistema con $N$ de las partículas.

Yo trabajo con la clásica mecánica molecular en varios de mis proyectos de investigación, pero todos ellos se aplican campos de fuerza como el potencial que rigen el movimiento de la $N$ cuerpos. Recientemente, sin embargo, yo estaba pensando si el Algoritmo de Verlet (con la que tengo cierta familiaridad) podría ser utilizado para integrar algunas otras ecuaciones de movimiento y para obtener la trayectoria que tome en cuenta los efectos de la relatividad especial, tales como la dilatación del tiempo y contracción de longitud.

Tengo una buena comprensión general de la relatividad, pero yo soy un químico teórico, no un físico y mi habitual ámbito de la práctica, de la química cuántica, por lo que resulta que no tengo suficiente experiencia matemática y/o practicar con la relatividad numérica idiossyncrasies de averiguarlo por mi cuenta, así que me vino a buscar la sabiduría.

Así que mi pregunta con respecto a todo lo que es triple:

$(1)$ Lo que las ecuaciones de movimiento deben ser integrados para el rendimiento de las trayectorias?

$(2)$ Puede Verlet algoritmo se utiliza para integrarlos?

$(3)$ Si no, entonces qué método debo utilizar?

Dado que el $N$ de las partículas están sujetas a pares del inverso del cuadrado de los potenciales.

Answer 1

Verlet implícitamente asume que las fuerzas son una función de la posición solamente. Esto significa verlet no se adapta mejor a las fuerzas que están en función de la velocidad así como la posición. Por ejemplo, arrastre. Verlet no es la mejor de las opciones en los casos donde la resistencia es significativo. El segundo fin de Newmark-beta método funciona mejor que verlet en los casos donde la resistencia es significativo.

Lo mismo se aplica a la relativista condición porque relativista de la fuerza implica la velocidad. El problema con Newmark-beta es que es un método implícito. Usted puede no por arte de magia determinar cuáles son las fuerzas que están al final del intervalo de tiempo. Sólo se puede adivinar, y luego iterar hasta que las cosas convergen. Eso es lo que la Newmark-beta método de hacer. Una iteración puede ser suficiente, pero aún así, hay un paso adicional de más de verlet.

Comentario: Verlet y Newmark-beta no son el ser-todo y el fin de las técnicas de integración. Que el uso de verlet, porque usted es un químico. Su N-problemas con el cuerpo inherentemente más bien grandes N. tienes pero la elección no utilizar un bajo orden de la técnica. Otra cosa sería matar computacionalmente. Bajo pedido técnicas tales como verlet (y Newmark-beta) son muy óptimo cuando el número de los cuerpos es pequeño.

Actualización
Para que quede claro, estoy abordar esta cuestión desde la perspectiva de diversos astrofísica / astronómico / ingeniería aeroespacial integradores de sistemas con un número pequeño (tres cientos) de los cuerpos. La técnica que se utiliza depende de un número de factores. Sólo algunos de ellos son:

• El lapso de tiempo de la integración.
  El carácter conservador de simpléctica integradores es importante si el intervalo de tiempo es muy largo (millones de años). Las personas están continuamente mejorando salir de técnicas y el desarrollo de nuevas técnicas. Aquí hay un enlace a un scholar.google.com búsqueda en simpléctica con particiones de Runge-Kutta (SPRK) integradores acaba de publicar durante este año (2014). Symplecticity no es importante en absoluto si el intervalo de tiempo es muy corto, donde la precisión es la que prevalece.

• La precisión deseada.
  Hasta un punto de orden superior, técnicas tienden a ofrecer mucha más precisión. La mayoría de las técnicas tienen un problema, ya que aumenta el orden. El aumento de la orden de los resultados en cada vez más y más grande términos oscilante signos. Por ejemplo, mediante orden de 16 de Gauss-Jackson con doble precisión aritmética no tiene ningún sentido. Tiene sentido si uno usa quad precisión, pero ahora hay un enorme impacto en el rendimiento debido a que la mayoría de los procesadores de punto flotante no implementar verdadero quad precisión. (Gauss-Jackson es esencialmente un estilo Adam técnica especializada para los de segundo orden ecuaciones diferenciales ordinarias.) JPL utiliza algunos otros Adams-estilo de la técnica a desarrollar es el Desarrollo de las Efemérides.

• Si ocurre la colisión.
  Las colisiones (o más bien, cerca de las interacciones) entorpeciendo el orden superior de las técnicas. El propósito de uso de alto orden de las técnicas es que este permite que los enormes pasos de tiempo. De hecho, usted desea tomar grandes pasos de tiempo con un alto orden de la técnica. Hasta un punto, a pasos más grandes significa más exactitud. Idealmente, usted desea que la integración de vivir justo en la cúspide donde los errores debido al uso de aritmética de precisión finita y los errores inherentes a la técnica de integración (errores de truncamiento) están en equilibrio.

• Si hay un gran cuerpo central.
  Hay un gran número de técnicas especializadas que se aplican cuando hay una sola masa solar gorila en la habitación. Algunos de estos son muy antiguos y son anteriores a los equipos por cientos de años. Lagrange planetarios de ecuaciones (y con muchas variantes, por ejemplo, Gauss " planetario ecuaciones) son, obviamente, viejo, pero todavía útil. Que el rendimiento del tiempo de los derivados de la Keplerian elementos pequeñas perturbaciones en la parte superior de la gravitación por que la masa solar gorila. La gente todavía el uso de estas técnicas. Otro viejito pero bueno es Encke del método. Que masa solar gorila hace que los objetos siguen un perturbado Keplerian órbita. Encke-tipo de métodos siga una referencia Keplerian segmento de la informática y de las perturbaciones. La referencia de la trayectoria es regularmente reajustado cuando el perturbado trayectoria se desvía lejos de la referencia de la trayectoria.

• Cuántos equipos uno tiene en la mano.
  Hay un número de formas de dividir el problema en varios equipos. Intercambio de los estados, calcular las aceleraciones, el intercambio de aceleraciones, dar un paso. Con una pequeña N, esto se puede hacer con el paralelismo de grano grueso. Con un moderado gran N, esto se puede hacer utilizando un equipo tarjeta de gráficos. Mucho mejor que poner que la tarjeta gráfica para el trabajo, haciendo útil cálculos que la ejecución de un juego de ordenador!

• Las limitaciones en el tamaño del paso.
  Nave de vuelta a sus propulsores en y fuera con una frecuencia alarmante. Muchos de vuelo sistemas de software multi-hertz velocidad del ciclo. Una nave espacial de simulación de vuelo, el software que se ejecuta en el bucle significa que el tamaño de paso es dictada por que la velocidad del ciclo. No hay ningún punto en el uso de un alto orden de la técnica que le gusta tomar minuto de duración o más pasos si el vuelo de software se convierte chorros de encendido y apagado a 100 hertz.

Answer 2

(Esta respuesta realmente sólo da la pertinente Odas).

A la respuesta 1., Voy a suponer que tienes un potencial. Este enlace se deriva el Lagrangiano relativista $L=-\sqrt{1-\beta^2}-U$ dar $\frac{d}{dt}\left( \gamma \vec{\beta}\right)=-\nabla U$, donde me he fijado $c=1$, $m=1$, y $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$. Si $U$ reacciona de alguna manera el movimiento de la partícula (que debe ser en la realidad, puesto que las partículas no pueden interactuar a través de una distancia) yo creo que tendrías que usar algo como retrasados Lienerd-Wiechert potenciales.

No tengo una respuesta a 2. En una dimensión usted puede hacer esto:

1. Escribir $\beta=\tanh(k)$
2. A continuación, utilizando la identidad $1-\tanh^2(k)=\mbox{sech} ^2(k)$, $\gamma \beta=\sinh(k)$
3. La fórmula es $\dot{k}=-\frac{\nabla U}{\cosh(k)}$

Usted podría ser capaz de hacer algo similar en 3D, pero al final estamos después de las posiciones y puede o puede no ser el caso de que el cambio entre la rapidez y la velocidad es la pena.