Acerca de un factor 2 en la normalización CLT de Donsker

Question

Tengo una pregunta sobre el papel siguientes:

Donsker, Monroe D. "Un principio de invariancia de cierta probabilidad límite de teoremas." Mem. Amer. De matemáticas. Soc 6.1951 (1951): 12.

Hay un factor de dos en todo el papel que no entiendo. Voy a estado de la cuestión, más precisamente, después de algunas definiciones. Gracias de antemano por cualquier ayuda! Probablemente soy acaba de ser estúpido.

Definiciones

En primer lugar, algunas definiciones, desde el papel.

• "Consideramos una secuencia $S_1, S_2, S_3,...$ de las sumas parciales de independientes, idénticamente distribuidas variables aleatorias $u_1,u_2,u_3,...$ cada uno con media de $0$ y la desviación estándar $1$."

• "Por espacio de Wiener nos referimos aquí el espacio $C$ que consta de todas las funciones continuas $x(t)$ definido en $0\le t\le 1$ $(x(0)=0)$ con Wiener medida impuesta en $C$. $^{(2)}$ ..."

• "...$^{(2)}$ Para la definición de Wiener medida que se utiliza aquí en el N. Wiener Generalizado Análisis Armónico. Acta Math., vol. 55(1930), pp 117-158, especialmente las páginas 214-234."

• "Vamos a $k$ ser un entero positivo fijo, $\alpha$ $\beta$ ser vectores $\alpha:(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_k)$$\beta:(\beta_1,\beta_2,...,\beta_k)$"

• "Vamos a $\mathfrak{V}$ ser cualquier número entero positivo"

• "$n_{j,p} = \left[ \frac{ (j-1) n}{k} + \frac{pn}{k \mathfrak{V}} \right]$ $j=1,2,...,k$ $p=0,1,...,\mathfrak{V}$. "

• "Vamos a $F_n$ ser el subconjunto de $(u_1,u_2,...,u_n)$ tal que para todo $j=1,2,...,k$ $$\begin{align*} (2n)^{1/2} \alpha_j \le s_{n_{j,p}} \le (2n)^{1/2} \beta_j\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (p=0,1,...,\mathfrak{V})" \end{align*}$$

• "Vamos a $D_{\mathfrak{V}}$ ser el subconjunto de $C$ tal que para todo $j=1,2,...,k$ $$\begin{align*} \alpha_j \le x\left(\frac{(j-1)\mathfrak{V}+p}{k\mathfrak{V}}\right) \le \beta_j\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (p=1,2,...,\mathfrak{V})" \end{align*}$$

Declaración de

Usando estas definiciones, dice lo siguiente:

"Es una consecuencia de la multidimensionales teorema del límite central que ... $$\begin{align*} \underset{n\rightarrow\infty}{\lim} P\{F_n\} = P\{D_\mathfrak{V}\}." \end{align*}$$

Pregunta

Así que aquí está mi pregunta: ¿Es esta declaración correcta dadas las definiciones anteriores? En particular, los factores de "$(2n)^{1/2}$" en la definición de $D_{\mathfrak{V}}$ ser reemplazado con "$(n)^{1/2}$?" En mi presente, el estado no iluminado, una de las siguientes dos opciones parece probable:

1. La respuesta es sí, y el factor de los dos está fuera de lugar.
2. La definición de Wiener medida que se utiliza en este documento no es convencional (no tengo acceso a Generalizar el Análisis Armónico de Norbert Wiener, a partir de la cual Donsker se presenta la definición utilizada en este trabajo).

P. S.

Este es mi primer post, así que perdón por mi torpe estilo y posibles violaciones de normas o costumbres. Estoy feliz de hacer los cambios recomendados por la comunidad.

Si alguien más tiene acceso directo a este papel, tengo otra pregunta.

Answer 1

NW probablemente defina la densidad normal estándar como proporcional a$x\mapsto\mathrm e^{-x^2}$ (como lo hacen muchos analistas), no a$x\mapsto\mathrm e^{-x^2/2}$ (la elección de muchos probabilistas), en cuyo caso el factor ajeno$\sqrt2$ es necesario.