una pregunta sobre forzar prikry diagonal

Question

Supongamos que <\kappa_n|n<\omega> es estrictamente creciente secuencia de medir los cardenales,

\kappa es el límite de esta secuencia. Para cada n<\omega, U_n es una medida normal en

\kappa_n. P es la diagonal Prikry obligando a los correspondientes a \kappa_n y U_n. Supongamos que g es P-secuencia genérica sobre V. Hemos sabido que para cada estrictamente creciente

secuencia x de longitud \omega de tal manera que cada x(i)<\kappa_i y x\in{V}, x es el tiempo

dominado por g. En V[g], supongamos que a es Un subconjunto de \kappa, no es en V. hay una estrictamente

el aumento de la secuencia y de la longitud \omega de tal manera que cada y(i)<\kappa_i y y\in{V[A]}, y no es

finalmente dominado por g?

(g, eventualmente, puede dominar todas estas secuencias en V, V[a] es mayor que V, siento que g no puede

finalmente dominan todas estas secuencias en V[A].)

Answer 1

Sí. La respuesta es, obviamente, "sí" si $A$ es un subconjunto de a $g$, por lo que es suficiente para mostrar que para cualquier subconjunto $A\subset\kappa$ hay $A'\subset g$ tal que $V[A']=V[A]$.

Supongo que a esto se le conoce, y me llamó la atención en el inicio y cuando, obviamente, cierto, pero no recuerdo haberlo visto. Aquí es un esquema de una prueba.

Escribir las condiciones siguientes Gitik) como $x=\langle x_i\mid i \in\omega\rangle$, con $x_i\in\kappa_i\cup U_i$. Escribir $A_n=A\cap \kappa_n$. Hay $x\leq^* 1^P$ que obliga a que $A_n$ se decidió por las condiciones de $y$ con $y_i\in U_i$$i>n$. De ello se desprende, en particular, que $A_n\in V$.

Encontrar $x'\leq^* x$ que decide, para cada una de las $n$, la frase "no hay $z\in \dot G$ tal que $z_i$ decide el valor de $\dot A_n$ y $z_i\in U_i$." Deje $b_n$ (finito) conjunto de $i$ para que este la sentencia está obligado a ser falsa. Entonces no es $x''\leq^* x'$ y 1--1 funciones de $h_n\colon \Pi_{i\in b_n} x_i''\to \kappa_n$ tal que $x''$ fuerzas que $A_n=h_n(g\upharpoonright b_n)$.

Set $A'=\bigcup_n b_n$. A continuación,$V[A] = V[A']$.