Probabilidad de que $5$ números elegidos al azar en el intervalo $[0, 1]$ todos se encuentran en la mitad del intervalo.

Question

Mi intento: Tener $5$ variables aleatorias uniformes en el intervalo $[0, 1]$ con cdf $F(x) = x$ .

La mitad del intervalo es $[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}]$ . La probabilidad de que una de las variables aleatorias se encuentre en este intervalo es

$$ p = F\Big(\frac{3}{4}\Big) - F\Big(\frac{1}{4}\Big) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} .$$

La probabilidad de que las cinco variables aleatorias se encuentren en este intervalo es entonces

$$ p^5 = \Big(\frac{1}{2}\Big)^5 = \frac{1}{32} .$$

No había solución para este ejercicio en mi libro de texto y no pude encontrar la respuesta en ningún sitio de Internet. Espero que alguien pueda verificar si esta es la respuesta correcta.

Answer 1

Su solución me parece totalmente correcta. Estrictamente hablando, la frase

$5$ números elegidos al azar en el intervalo $[0,1]$

es un poco vago, porque no dice si las selecciones son independientes, pero se puede asumir con seguridad que sí, y entonces la probabilidad de cada evento es $\frac12$ , por lo que la probabilidad de todos ellos es $\frac{1}{32}$ . ¡Bien hecho!

Answer 2

Ni siquiera necesitas lo de ' F(x)' ya que el intervalo en el que quieres que estén tiene una longitud de 1/2 y los otros dos intervalos [0,1/4) y (3/4,1] combinados tienen una longitud de 1/2 por lo que la probabilidad será de (1/2)^n para que n traiga el número de elegidos .este caso es n=5 .