Referencia para el teorema "topos obtenidos por contiguo a un conjunto indeterminado"

Question

De Lawvere de la variable Continua de conjuntos; geometría algebraica = geométrica de la lógica:

El siguiente dato ilustrativo acerca de los topoi (conocido por el caso $\mathsf S$=constante de conjuntos) fue (conjeturado por mí y) demostró por Gavin Wraith para cualquier base de topos tener una natural-los números de objeto.

Teorema 6. Supongamos $\mathsf S$ es un topos de tener una natural-los números de objeto. Entonces no es un topos $\mathsf S[T]$ $\mathsf S$ "obtenidos por contigua a un conjunto indeterminado $T$' tal que para cualquier topos $\mathsf X$ $\mathsf S$ hay una equivalencia $$\mathsf{Lugar}_{/\mathsf S}(\mathsf X,\mathsf S[T])\desbordado{\simeq}{\longrightarrow}\mathsf X$$de categorías (definido por $f\leadsto f^\ast T$). Específicamente, $\mathsf S[T]$ es la (interna) functor categoría $\mathsf S^{\mathbb S_0}$, donde $\mathbb S_0$ is a category object in $\mathsf S$ lo cual puede ser interpretado como la categoría de conjuntos finitos con $\mathbb S_0\desbordado{T}{\longrightarrow} \mathsf S$ interpreta como el completo la inclusión.

1. Donde puedo encontrar una referencia de este teorema y su prueba?
2. Supongamos $\mathsf S=\mathsf{Set}$. ¿Qué es $T$? Podría ser "nada"? Es decir, podría la equivalencia ser verdadero sin escribir $T$ a todos? ¿Qué es la intuición?
3. ¿Cuáles son algunas consecuencias interesantes de este teorema?

Answer 1

Aquí está una cierta intuición. Usted puede pensar en el frente de la 2-categoría de Grothendieck topoi (que es, una de morfismos $f : X \to Y$ entre los topoi es exacta a la izquierda adjunto) como un categorification de la categoría de anillos conmutativos, donde

1. Colimits categorify además,
2. Límites finitos categorify multiplicación, y
3. Las poleas de los conjuntos en espacios categorify funciones.

(De un modo mucho más preciso de la declaración es que topoi con estos morfismos categorify marcos, pero conmutativa anillos son más familiar en una forma útil.) Nota, por ejemplo, que debido a topoi son cartesiano cerrado, finito productos de distribuir más de colimits.

En este 2 categoría $\text{Set}$ es el objeto inicial, por lo que categorifies el anillo conmutativo $\mathbb{Z}$; toda la teoría es "$\text{Set}$-lineal." Esto puede ser más claro si se piensa en $\text{Set}$ como el topos de poleas en un punto.

$\text{Set}[T]$ luego categorifies el polinomio anillo de $\mathbb{Z}[T]$ - es el libre topos en un objeto - y lo que el teorema dice es que $\text{Set}[T]$ existe y puede ser que explícitamente se dio cuenta de como el functor categoría $[\text{FinSet}, \text{Set}]$. A grandes rasgos, si $F$ es un functor, los valores de $F(n)$ toma en conjuntos de tamaño $n$ (de la cual estoy escribiendo simplemente "$n$" por abuso de notación) son los "coeficientes" de la "correspondiente polinomio." Esto puede ser hecho precisa por escrito a cada una de esas functor $F$ como un promedio ponderado de colimit de representable presheaves en $\text{FinSet}^{op}$ en la forma habitual, que aquí parece (después de jugar con algunos $^{op}$s)

$$F(X) \cong \int^{n \in \text{FinSet}} F(n) \times X^n$$

donde $X \in \text{FinSet}$. Este coend también describe más general de cómo calcular la imagen de $F$ bajo la exacta izquierda adjoint $f : \text{Set}[T] \to C$ donde $C$ es un topos y $f$ clasifica un objeto de $X \in C$; aquí $F(n) \times X^n$ debe ser entendido como la tensoring, por lo que se refiere a $\coprod_{F(n)} X^n$.

(Lo que esto demuestra es que el $S[T]$ es un poco engañoso notación para este topos, si la noción de morfismos entre los topoi que estamos trabajando es geométricas morfismos; mezcla el algebraicas (topoi como "conmutativa de los anillos") y geométricas (topoi como "afín a los esquemas") los puntos de vista. Sería bueno tener dos palabras diferentes para topoi considera que en estos dos sentidos, de forma análoga a la distinción entre afín esquemas y conmutativa de los anillos, y la distinción entre locales y marcos).

Para empezar a entender este resultado, la primera observación es que el $\text{FinSet}^{op}$ sí tiene una interesante característica universal: es la categoría libre con límites finitos en un objeto. Este es un categorification de la libre conmutativa monoid en un punto, es decir,$\mathbb{N}$, que luego tomamos el libre abelian grupo / monoid anillo para obtener la libre conmutativa anillo en un punto; esto se categorified a tomar presheaves.

Una vez que usted cree que esta característica universal, a continuación, como se ha mencionado en los comentarios el resultado deseado de la siguiente manera a partir de Diaconescu del teorema, que se puede considerar como un categorification de la característica universal de la monoid anillo.

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Una generalización de esta perspectiva, donde nos reemplazar cartesiano monoidal categorías con monoidal simétrica categorías, es a veces llamado "2-afín a la geometría algebraica", y es también una generalización de Tannaka dualidad; véase, por ejemplo, Chirvasitu y Johnson-Freyd es fundamental pro-groupoid de un afín 2-esquema de Brandenburgo o el Tensor de la categórica fundamentos de la geometría algebraica.