Describir los múltiplos de $21$ que termina con $241$

Question

Sinceramente, no tengo ni idea de cómo proceder en esto. He intentado combinar ambas divisibilidades critirea de $3$ y $7$ e intenté obtener una forma general para un número que es múltiplo de $3$ y $7$ , pero no pude conseguir ninguno (y no tenía esperanzas).

Si alguien pudiera ayudarme, ¡se lo agradecería!

Answer 1

En tu lugar, yo habría probado Wolfram Alpha. Algo como solve 21x = 241 mod 1000 debería darte la respuesta:

$x = 821 + 1000n$ y $n \in \mathbb Z$

Bueno, eso hay que matizarlo con $n \geq 0$ ya que negativo $n$ dan números como $-3759$ . Positivo $n$ y 0, te dará los números que quieras: 17241, 59241, 80241, etc.

Observe también que los tres últimos dígitos de los múltiplos de 21 se ciclan cada mil, lo que es un poco más largo que, por ejemplo, los múltiplos de 22 (que ciclan los tres últimos dígitos cada quinientos múltiplos).

Answer 2

Básicamente tiene $$x=21a\\x=1000b+241$$ donde $a,b,x\in\mathbb N$ . Es cierto para $x=17241,a=821,b=17$ .

Por lo que sé, no se conoce ningún método que permita obtener todas las soluciones posibles si, en general, se sustituye $21$ y $1000$ con algunos números arbitrarios. Sin embargo, según el Teorema del Remanente Chino, si el máximo común divisor de los dos números dados es $1$ entonces tiene solución única modulo $a\cdot b$ (donde $a$ y $b$ son los números dados), como explica math.h en el comentario. Por lo tanto, encontrar un ejemplo básicamente resuelve el problema.