Describe los múltiplos de $21$ que terminan con $241$

Question

Sinceramente, no tengo ni idea de cómo proceder en esto. Intenté combinar los criterios de divisibilidad de $3$ y $7$, y traté de encontrar una forma general para que un número sea múltiplo de $3$ y $7$, pero no pude encontrar ninguna (y no tenía esperanzas).

¡Si alguien pudiera ayudarme, se lo agradecería!

Answer 1

En tu lugar, habría intentado Wolfram Alpha. Algo como resolver 21x = 241 mód 1000 debería darte la respuesta:

$x = 821 + 1000n$ y $n \in \mathbb Z$

Bueno, eso necesita ser calificado con $n \geq 0$, ya que los números negativos $n$ dan números como $-3759$. Números positivos de $n$ y 0 te darán los números que quieres: 17241, 59241, 80241, etc.

También observa que los últimos tres dígitos de los múltiplos de 21 ciclan cada mil, lo cual es un poco más largo que, por ejemplo, los múltiplos de 22 (que ciclan los últimos tres dígitos cada quinientos múltiplos).

Answer 2

Básicamente tienes $$x=21a\\x=1000b+241$$ donde $a,b,x\in\mathbb N$. Es cierto para $x=17241,a=821,b=17$.

Por lo que sé, no hay un método conocido para obtener todas las posibles soluciones si, en general, reemplazas $21$ y $1000$ con algunos números arbitrarios. Sin embargo, según el Teorema del Resto Chino, si el máximo común divisor de los dos números dados es $1$, entonces tiene una solución única módulo $a\cdot b$ (donde $a$ y $b$ son los números dados), como explicó math.h en el comentario. Por lo tanto, encontrar un ejemplo básicamente resuelve el problema.