Calcular un límite sin L ' Hopital ' s regla $\lim_{x \to a} \frac{a^x-x^a}{x-a}$

Question

Me gustaría saber cómo podemos calcular el siguiente límite mediante el uso de sólo los límites fundamentales.

$$\lim_{x \to a} \dfrac{a^x-x^a}{x-a},$$ where $una$ es un número real positivo.

Mi idea era utilizar una sustitución: $y=x-a$. Tenemos $$\lim\limits_{y \to 0} \dfrac{a^aa^y-(y+a)^a} de{y} =a^a\left[ \lim\limits_{y \to 0} \dfrac{a^y-1+1-(\frac{y+a}{a})^a} de{y} \right] =a^a\left[ \ln a+\lim\limits_{y \to 0}\frac{1-(\frac{y+a}{a})^a} de{y} \right]. $$

Estoy deseando leer algunos consejos sobre cómo puedo continuar desde este punto. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

$$\lim_{x \to a} \dfrac{a^x-x^a}{x-a}=\lim_{x \to a} \dfrac{a^x+a^a-a^a-x^a}{x-a}$$$$=\lim_{x \to un} \dfrac{a^x-a^a}{x-a}-\lim_{x \to un} \dfrac{x^a-a^a}{x-a}=f'(a)-g'(a)$ $

donde $f(x)=a^x$ y $g(x)=x^a$

Answer 2

Tus pasos son buenos, ahora solo se aplica límite bien conocido $$ \lim_{n \to 0} \frac{(n+1)^k - 1}{n} = k $ $ tu último límite se convierte en $$\lim_{y\to0}\frac{(ya^{-1}+1)^a-1}{y}=aa^{-1}=1$ $ sustituyendo en su expresión original $$a^a(\ln a+(-1))=a^a(\ln a-1)$ $

Answer 3

¿Sugerencia: para concluir usted utilizará el límite $$ \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^a - 1}{x} = a $ $ puede usted averiguar cómo?