Calcular el índice de triángulo el triángulo del padre.

Question

Yo no soy un matemático, así que trate de explicar el tema con una imagen. Es una subdivide triángulo. Me cuentan los más pequeños triángulos utilizando un índice a partir del 1. Necesito una fórmula que calcula el índice de los padres triángulo.$$pindex = f(index)$$

$$f(1) = 1$$ $$f(2) = 1$$ $$f(3) = 1$$ $$f(4) = 1$$ $$f(5) = 2$$ $$f(6) = 3$$ Esto nos lleva a la siguiente secuencia de enteros: $$1,1,1,1,2,3,3,3,4,2,2,2,3,4,4,4,5,6,6,6,..$$

No he podido encontrar una fórmula en OEIS para esta secuencia. También tengo curiosidad acerca de cómo mejorar mi pregunta que es más claro.

Actualización

Vamos a llamar a la alineación horizontal de los triángulos de una fila. Puedo calcular el índice de fila por el triángulo índice de uso de esta fórmula A000196: $$r(i) = round(1 + 0.5 * (-3 + sqrt(i) + sqrt(1 + i)))$$ Vamos a llamar el desplazamiento de un triángulo en una fila de la fila de desplazamiento. Puedo calcular este desplazamiento por el triángulo índice de uso de esta fórmula A071797: $$o(i) =i - (floor(sqrt(i))^2$$

Tengo la fila y el desplazamiento en esta fila del triángulo de índices. Creo que estoy cerca de una solución con este. Alguna idea?

Answer 1

He encontrado una solución.

• encontrar la matriz fila del triángulo
• determinar el recuento de los padres triángulos que se producen antes de que el padre de la fila
• encontrar el desplazamiento de fila del triángulo
• el uso de un patrón para encontrar el desplazamiento de fila para padres triángulos
• padre índice = 'el recuento de los padres triángulos antes de la fila' + 'offset de padres triángulos en la fila'

Aviso que yo enumerar los triángulos por medio de un índice a partir de 0 en lugar de 1.

Primero vamos a definir cada segunda fila como el padre de la fila.

El cálculo del índice de fila con el triángulo de índice A000196: $$r(i)=round(1+0.5∗(−3+sqrt(i)+sqrt(1+i)))$$

Parent row indices are obviously: $$floor(r(i) / 2)$$

El conteo de triángulos que se producen antes de una fila padre A000290: $$c(i) = floor(1 / (1 - cos(1 / (floor(r(i) / 2))))) / 2;$$

Vamos a definir desplazamiento de fila como el índice de cada triángulo en relación a su fila.

Calcular el desplazamiento de fila con el triángulo de índice A053186 $$o(i) = i - floor(sqrt(i))^ 2$$ Hay un patrón de cómo un desplazamiento de fila está relacionado con el desplazamiento de fila de la fila padre

El patrón de cada fila puede ser calculado mediante el desplazamiento de fila o A004524:

$$p2(o) = floor(o / 4) + floor((o + 1) / 4)$$ El patrón de cada fila impar se cambió por 3 y se resta 1: $$p1(o) = p2(o + 3) - 1$$

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Conclusión: $$f(i) = p2(o(i) + (3 - r(i)\pmod 2 * 3)) - (1 - r(i)\pmod 2) + c(r(i) / 2)$$ Código de C#:

    public static int GetParentTriangleIndex(int i)
    {
        var row = GetRowOfTriangle(i); // A000196
        var patternOffset = 3 - row % 2 * 3;
        var rowOffset = GetTriangleRowOffset(i); // A053186
        var trianglesBeforeParentRow = GetTriangleCountBeforeRow(row / 2);  //A000290
        var pattern = RowPattern(rowOffset + patternOffset) - (1 - row % 2); //  A004524
        return pattern + trianglesBeforeParentRow;
    }

Answer 2

Vamos a índice comenzando con $0$, porque todo es más fácil de esa manera. Tenga en cuenta que cualquier entero no negativo, $n$ puede ser expresado de esa manera

$$n = 4 a^2 + 4 b + c \tag{$\estrella de$}$$ con los números enteros $a$, $b$, $c$ tal que $$0 \leq b \leq 2 a \quad\text{and}\quad 0 \leq c < 4$$

Simplemente tome $$c := ( n \operatorname{mod} 4 ) \qquad a := \left\lfloor \;\frac12 \sqrt{n-c}\;\right\rfloor \qquad b := \frac14\left(n - 4 a^2 - c \right)$$

Ahora, podemos representar cada una de las $n$ en la cifra objetivo con $a$, $b$, $c$ "coordenadas".

Aquí, "$a$" representa un determinado par de filas de números de $n$ (o una sola fila de "padre de triángulos" $p$); "$b, c$" se lee de izquierda a derecha, con $c$ de incremento de$0$$3$, entonces el "vuelco" el incremento de la $b$. (En el diagrama, los colores identifican varios $b$ bloques.) Es importante destacar, $a^2$ es el número de padres de triángulos por encima de la fila $a$; en consecuencia, determinar el índice de un particular de los padres triángulo reduce al estudio de la $b$ $c$ a una $a$ bloque.

La observación clave de la coordinatized figura es que los casos en que $c = 0$ corresponden (al alza o a la baja, apuntando a) "consejos" de los padres de triángulos. Vemos que

• Para apuntando hacia arriba consejos, el padre triángulo índice (dentro de la $a$ bloque) por $n$ es simplemente $2b$; para el que apunta hacia abajo consejos, el índice es $2(b-a)-1$.

• Para los "no-tip" $n$ (es decir, cuando $c\neq 0$) en la fila superior de una $a$ bloque, el padre índice es $2b+1$; en la fila inferior,$2(b-a)$.

Después de un rato de mirar y tocar el violín, la siguiente fórmula surge:

$$\text{parent triangle index} = a^2 + \left(\; 2 b + \operatorname{bool}\left(\;c \neq 0\;\right)\mod (2a+1)\;\right) \tag{$\estrellas\estrella de$}$$

donde "$\operatorname{bool}(x)$" evalúa a $1$ o $0$, de acuerdo como $x$ es verdadera o falsa. (Es un poco poco de trampa, ya que no se "calcula" de $n$. Se los dejo como ejercicio para el lector algebraize ese aspecto de la fórmula.)

El "mod $(2a+1)$" complicación se acomoda a los molestos $b$ bloque que "envuelve" a partir de la fila superior a la parte inferior de una $a$ bloque.

Vamos a la cordura-comprobación de la fórmula:

• En la fila superior de una $a$ bloque, con exclusión de la envoltura alrededor de la $b$ bloque, tenemos $b < a$, por lo que el $2a+1$ modding no tiene ningún efecto y $(\star\star)$ reduce a $$a^2 + 2 b + \operatorname{bool(\;c\neq 0\;)}$$ lo cual es consistente con la "punta" y "no-punta" de las observaciones realizadas anteriormente.

• En la fila inferior de una $a$ bloque, con exclusión de la envoltura alrededor de la $b$ bloque, tenemos $a < b \leq 2a$, por lo que el $0 \leq 2(b - a)-1 \leq 2a-1$. Nuestro "punta/no-tip" discusión nos dice esperar un padre índice de $$a^2 + 2(b-a) - 1 + \operatorname{bool}(\;c\neq 0\;)$$ Since the expression after the $a^2$ never exceeds $2a$, modding by $2a+1$, again, has no effect. Moreover, adding $2a+1$ to the modded quantity has no effect, except to reduce the above to the form of $(\estrellas\estrella)$.

• En la envoltura alrededor de la cuadra, $a = b$. Para $c = 0$ (el final de la $n$ en la fila superior), esperamos un padre índice de desplazamiento de $a^2$ $2 b$ (es decir, $2a$); de lo contrario, el desplazamiento debe ser $0$. La fila inferior de la fórmula en la viñeta anterior cubre el último caso, pero se da un desplazamiento de $-1$ para el caso anterior. Aquí, sin embargo, la adición de $2a+1$ es más que una formalidad; cambia el $-1$ compensación $2a$, lo que queremos, mientras que no afecta a la $0$ compensación cuando se produce. Por eso, $(\star\star)$ es, una vez más, nuestro resultado.

Answer 3

Consideramos el triángulo $T$ entradas $T(k),k\geq 1$ $$ \begin{array}{l|rrrrrrrrrrrrrrrrrr} n&T(k)\\ \hline 1&&&&&&\color{blue}{1}\\ 2&&&&&\color{blue}{2}&\color{blue}{3}&\color{blue}{4}\\ \hline 3&&&&\color{blue}{5}&6&7&8&\color{blue}{9}\\ 4&&&\color{blue}{10}&\color{blue}{11}&\color{blue}{12}&13&\color{blue}{14}&\color{blue}{15}&\color{blue}{16}\\ \hline 5&&\color{blue}{17}&18&19&20&\color{blue}{21}&22&23&24&\color{blue}{25}\\ 6&\color{blue}{26}&\color{blue}{27}&\color{blue}{28}&29&\color{blue}{30}&\color{blue}{31}&\color{blue}{32}&33&\color{blue}{34}&\color{blue}{35}&\color{blue}{36}\\ \hline \vdots&&&&&&\vdots\\ \end{array} $$ y las entradas correspondientes de los padres triángulo $T\circ f$ entradas $T(f(k)),k\geq 1$ $$ \begin{array}{l|rrrrrrrrrrrrrrrrrr} n&T(f(k))\\ \hline 1&&&&&&\color{blue}{1}\\ 2&&&&&\color{blue}{1}&\color{blue}{1}&\color{blue}{1}\\ \hline 3&&&&\color{blue}{2}&3&3&3&\color{blue}{4}\\ 4&&&\color{blue}{2}&\color{blue}{2}&\color{blue}{2}&3&\color{blue}{4}&\color{blue}{4}&\color{blue}{4}\\ \hline 5&&\color{blue}{5}&6&6&6&\color{blue}{7}&8&8&8&\color{blue}{9}\\ 6&\color{blue}{5}&\color{blue}{5}&\color{blue}{5}&6&\color{blue}{7}&\color{blue}{7}&\color{blue}{7}&8&\color{blue}{9}&\color{blue}{9}&\color{blue}{9}\\ \hline \vdots&&&&&&\vdots\\ \end{array} $$

Podemos distinguir impares y pares filas de $T$. El índice de $k$ de las entradas en $T$ están en la fila ($n\geq 1$): \begin{align*} 2n-1:&\qquad (2n-2)^2+1\leq k\leq (2n-1)^2\tag{1}\\ 2n:&\qquad (2n-1)^2+1\leq k\leq (2n)^2\tag{2} \end{align*}

Las regiones correspondientes de los padres triángulo $T\circ f$

\begin{align*} 2n-1,2n:&\qquad (n-1)^2+1\leq f(k)\leq n^2\\ \end{align*} que puede ser fácilmente comprobada por ejemplo, con $n=3$ en los triángulos de arriba.

Que se derivan de las fórmulas para la asignación de $f$ desde el triángulo de las entradas de $T(k)$ a los padres triángulo de las entradas de $T(f(k))$.

A partir de (1) y (2) nos encontramos con una representación de $n$ en términos de $k$: \begin{align*} 2n-1:&\qquad\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor=2n-2\quad\Rightarrow\quad \color{blue}{n=\frac{1}{2}\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor+1} \tag{3}\\ 2n:&\qquad\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor=2n-1\quad\Rightarrow\quad \color{blue}{n=\frac{1}{2}\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor+\frac{1}{2}}\tag{4}\\ \end{align*}

Más a la izquierda de los elementos en una fila: Con (3) y (4) podemos encontrar una representación de más a la izquierda de elemento $(n-1)^2+1$ $T\circ f$ de la fila $2n-1$ $2n$ en términos de $k$:

\begin{align*} 2n-1:&\qquad\quad\color{blue}{(n-1)^2+1=\frac{1}{4}\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor^2+1}\tag{5}\\ 2n:&\qquad\quad\color{blue}{(n-1)^2+1=\frac{1}{4}\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor^2-\frac{1}{2}\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor+\frac{5}{4}}\tag{6} \end{align*}

A continuación hacemos el desplazamiento de cálculo de la compensación $j\geq 0$ en pares y los impares filas. Con el fin de ver mejor lo que está pasando nos fijamos en un pequeño ejemplo: \begin{align*} \begin{array}{l|rrrrrrrrrrrrrrrrrr} n&T(f(k))\\ \hline \vdots&&&&&&\vdots\\ 5&\color{blue}{0}&1&1&1&\color{blue}{2}&3&3&3&\color{blue}{4}\\ 6&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&\color{blue}{0}&1&\color{blue}{2}&\color{blue}{2}&\color{blue}{2}&3&\color{blue}{4}&\color{blue}{4}&\color{blue}{4}\\ \vdots&&&&&&\vdots\\ \hline j&\color{blue}{0}&1&2&3&\color{blue}{4}&5&6&7&\color{blue}{8}&9&10\\ \end{array}\etiqueta{7} \end{align*}

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Desplazamiento en la fila $2n-1$:

Podemos calcular el desplazamiento de $j\geq 0$ en esta fila y distinguir de acuerdo a (7) dos casos

\begin{align*} f(4j)&=2j&&\\ f(4j+l)&=2j+1,&\qquad\qquad &l=1,2,3\quad &\\ \end{align*}

Desde el offset $4j$ puede ser escrito como \begin{align*} 4j&=k-((2n-2)^2+1)=k-\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor^2-1\\ \end{align*}

obtenemos \begin{align*} \color{blue}{f(4j)}&\color{blue}{=2\left\lfloor\frac{1}{4}\left(k-1-\left\lfloor\sqrt{k-1}^2\right\rfloor\right)\right\rfloor}\\ \color{blue}{f(4j+l)}&\color{blue}{=2\left\lfloor\frac{1}{4}\left(k-1-\left\lfloor\sqrt{k-1}^2\right\rfloor\right)\right\rfloor+1\qquad\qquad l=1,2,3}\\ \end{align*}

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Desplazamiento en la fila $2n$:

Podemos calcular el desplazamiento de $j\geq 0$ en esta fila y distinguir de acuerdo a (7) dos casos

\begin{align*} f(4j+3)&=2j+1&&\\ f(4j+l)&=2j,&\qquad\qquad &l=0,1,2\quad &\\ \end{align*}

Desde el offset $4j+3$ puede ser escrito como \begin{align*} 4j+3&=k-((2n-1)^2+1)=k-\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor^2-1\\ \end{align*}

obtenemos \begin{align*} \color{blue}{f(4j+3)}&\color{blue}{=2\left\lfloor\frac{1}{4}\left(k-1-\left\lfloor\sqrt{k-1}^2\right\rfloor\right)\right\rfloor+1}\\ \color{blue}{f(4j+l)}&\color{blue}{=2\left\lfloor\frac{1}{4}\left(k-1-\left\lfloor\sqrt{k-1}^2\right\rfloor\right)\right\rfloor\qquad\qquad l=0,1,2}\\ \end{align*}

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Resumen:

Deje $y=\left\lfloor\frac{1}{4}\left(k-1-\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor^2\right)\right\rfloor$. Deje $N_1=(2n-2)^2+1$ $N_2=(2n-1)^2+1$ indicar el comienzo de una fila de acuerdo a (5) resp. (6). Poniendo todo junto obtenemos \begin{align*} \color{blue}{f(k)}&\color{blue}{=\frac{1}{4}\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor^2+\begin{cases} 2y+1&&\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor\equiv 0(2),\,k-N_1\equiv 0(4)\\ 2y+2&&\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor\equiv 0(2),\,k-N_1\not\equiv 0(4)\\ -\frac{1}{2}\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor+2y+\frac{9}{4}&&\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor\equiv 1(2),\,k-N_2\equiv 3(4)\\ -\frac{1}{2}\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor+2y+\frac{5}{4}&&\left\lfloor\sqrt{k-1}\right\rfloor\equiv 1(2),\,k-N_2\not\equiv 3(4)\\ \end{casos}} \end{align*}