¿Es siempre racional $n^\frac{1}{n}$?

Question

Lo siento si esto es un duplicado, como de costumbre, yo estoy luchando con la forma de búsqueda.

Me preguntaba a mí mismo cómo probar que usted no puede obtener un número cuadrado que es el doble de otro número cuadrado, I. e. $$m^2=2n^2$$ y rápidamente me encontré con una casa a prueba utilizando el hecho de que: $$\frac{m}{n}=\sqrt{2}$$ El siguiente paso obvio es el de los cubos que son tres veces otro cubo, etc. etc. Me di cuenta de que puede usar este método para demostrar que el poder de p no puede ser p veces otra potencia de p si $p^\frac{1}{p}$ nunca es racional. Sospecho que esto es cierto, pero tengo que ir a dormir, así que puede que alguien me ayudara con una prueba?

Answer 1

$n^{\frac{1}{n}}$ no puede ser racional para cualquier entero positivo $n>1$ (No importa si $n$ es primo o compuesto)

Esto es debido a que el número de $n^{\frac{1}{n}}$ es una raíz del polinomio $x^n-n$.

El líder del coeficiente de $1$, por lo tanto, cualquier racional de la raíz woule ser un número entero. Si denotamos $m:=n^{\frac{1}{n}}$, obtenemos $m^n=n$. $m$ es claramente positiva, por lo que tendría que ser un posiive entero, si fuera racional.

Tendríamos $m\ne 1$, por lo tanto $m\ge 2$, pero, a continuación,$m^n\ge 2^n>n$$n>1$, por lo tanto llegamos a una contradicción.

Answer 2

$$ 1 < n^{1/n} < 2 \quad \forall n >1 , n\in \Bbb N$$

También (creo que más es necesario downvotes son demasiado rápido) tenga en cuenta que $n^{1/m}$ puede ser racional iff es un entero.

Answer 3

Si $n=p$ prime y $p^{1/p}=\frac{m}{l}$ era racional sigue que $l^p*p=m^p$. Ahora uso la unicidad de la facturización primera:

Deje que el primer número $p$ ocurren en el sitio izquierdo $x$ veces y $y$ veces en el sitio adecuado. Entonces $y$ es divisible por $p$ mientras que $x$ no. Contradicción.

Answer 4

Considere el polinomio $p$, que $p(x):= x^n -n $ $\sqrt[n]{n} $ como una raíz de asumir.

Por el Teorema de la raíz racional sabemos que si $p$ tiene una raíz racional, será uno de lo divisores $d_1,\cdots,d_m$ $n$ (ya el coeficiente del monomio $x^n$ $1$). Pero ninguno de entonces será una raíz de $p$. Por lo tanto, las raíces reales de $p$ son todas las raíces de la irracional, incluyendo $\sqrt[n]n$.

Answer 5

Utilizando parte de la respuesta Jaideep Khare ya publicada (para dar una solución completa)

Lema 1

Si $a \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$, entonces el $a^n \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$ % todo $n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0 \}$

lema 2

Si $x^m - m =0$ tiene una solución racional, entonces debe ser un entero, para todos los $m \in \mathbb{N}$

lema 3

$m^{\frac{1}{m}} \in ~ ]1,2[$

El primer lema es fácil de probar, el segundo es una consecuencia de la primera y la tercera también puede ser demostrada con facilidad