Lo que ' s % mayor, $E(X^2)^3$o $E(X^3)^2$

Question

Así que tuve un examen de probabilidad y realmente no podía responder a esta pregunta. Sólo pidió algo como esto:

"Teniendo en cuenta que $X$ es una variable aleatoria, $X$ $\geqslant$ $0$, use la desigualdad correcta para demostrar lo que es mayor o igual, $E(X^2)^3$ o $E(X^3)^2$.

Lo único que podía pensar era la desigualdad de Jensen, pero realmente no sé cómo aplicar aquí.

Answer 1

Este hecho puede ser probado por la desigualdad de Jensen.

Sugerencia: tenga en cuenta que $\alpha > 1$ la función $x^{\alpha}$ es convexo en $\left[0, -\infty\right)$ (que es donde utilizas la Asunción $X \ge 0$). Desigualdad de Jensen da \mathbb{E}\left[Y\right]^{\alpha $$} \le \mathbb{E}\left[Y^{\alpha}\right] $$ y $\alpha < 1$, es el otro cerca de la forma.

Ahora, transformar las variables a algo comparable y encontrar el % correspondiente $\alpha$.

Answer 2

Desigualdad de Lyapunov (Ver: Casella y Berger, inferencia estadística 4.7.6):

$1 < r < s < \infty$: $$ \Mathbb{E}[| X | ^ r] ^ \frac {1} {r} \leq \mathbb{E}[| X | ^ s] ^ \frac {1} {s} $$

De prueba:

Por desigualdad de Jensens convexo $\phi(x)$: $\phi(\mathbb{E}X) \leq \mathbb{E}[\phi(x)]$

Considerar $\phi(Y) = Y^t$, entonces el $(\mathbb{E}[Y])^t \leq \mathbb{E}[Y^t]$ donde $Y = |X|^r$

Sustituto $t = \frac{s}{r}$: $(\mathbb{E}[|X|^r])^{\frac{s}{r}} \leq \mathbb{E}[|X|^{r\frac{s}{r}}]$ $\implies \mathbb{E}[|X|^r]^\frac{1}{r} \leq \mathbb{E}[|X|^s]^\frac{1}{s}$

En general para $X >0$ esto implica:

$ \mathbb{E}[X] \leq (\mathbb{E}[X^2])^\frac{1}{2} \leq (\mathbb{E}[X^3])^\frac{1}{3} \leq (\mathbb{E}[X^4])^\frac{1}{4} \leq \dots $

Answer 3

Supongamos que X tiene una distribución uniforme en [0,1] entonces E(X$^2$) = $\frac{1}{3}$ y tan E(X$^2$) $^3$ = $\frac{1}{27}$ y E(X$^3$) = $\frac{1}{4}$ tan E(X$^3$) $^2$ = $\frac{1}{16}$. En este caso el E(X$^3$) $^2$ > E(X$^2$) $^3$. ¿Se puede generalizar esto o encontrar un contraejemplo?