¿Cómo integrar un derivado total?

Question

Supongamos que $f(x,y)=x y$

Entonces, su derivado total es $$\begin{align} \mathbb{d}f&=x \mathbb{d}y+y \mathbb{d}x \\ \int\mathbb{d}f&= \int x \mathbb{d}y+ \int y \mathbb{d}x \tag{Integration}\\ f&=xy+yx +c\\ f&=2xy + c \\ f&=2xy \tag{suppose %#%#%} \\ \end {Alinee el} $$

¿Por qué nosotros no estamos consiguiendo nuevamente el mismo valor del $c=0$?

Answer 1

Que no funciona. Si usted tiene

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = x $$

Solo puede integrar una variable a la vez. Por ejemplo integrar w.r.t $y$

$$ f(x,y) = \int x\ dy = xy + g(x) $$

Luego de tomar el parcial w.r.t $x$ de ambos lados $$ \frac{\partial f}{\partial x} = y + \frac{dg}{dx} $$

Por lo tanto $dg/dx = 0$ o $g(x) = c$. A continuación, la solución final es

$$ f(x,y) = xy + c$$

que varía hasta una constante, como se esperaba.

---

Si prefiere utilizar su notación, se ve algo como

$$ df = x \ dy + y \ dx $$ $$ \int \frac{\partial f}{\partial y}\ dy = \int x \ dy + \int y\frac{\partial x}{\partial y} dy $$

Desde $x$ $y$ son independientes, $\partial x/\partial y = 0$ y se obtiene $$ f(x,y) = xy + g(x) $$

Tenga en cuenta que el plazo adicional es la única constante w.r.t $y$, por lo que decimos que es una función de $x$

Answer 2

En términos de las integrales de camino, lo que puede hacer cuando consiga $\int x \, dy + \int y \, dx = xy + yx$ se deben calcular dos integrales a lo largo de diferentes rutas, la primera a lo largo de una "vertical" ruta de acceso y el otro a lo largo de una "horizontal" ruta de acceso. Lo que usted debe es calcular ambas por el mismo camino:

Vamos a tomar un camino lineal $\gamma$$(0,0)$$(x_0, y_0)$. Esto puede ser parametrizadas por $(x, y) = (t x_0, t y_0)$ donde $t$ pistas de$0$$1$. La integral se convierte entonces en $$ \int_0^1 (t \, x_0)(dt \, y_0) + \int_0^1 (t \, y_0)(dt \, x_0) = x_0 y_0 \int_0^1 t \, dt + y_0 x_0 \int_0^1 t \, dt \\ = \frac12 x_0 y_0 + \frac12 x_0 y_0 = x_0 y_0 $$

De hecho, en este caso, ya que los $x \, dy + y \, dx = d(xy)$ es una diferencial exacta, cualquier camino entre los dos puntos se dan el mismo resultado.

Answer 3

$xy$ no es la antiderivada de $x \mathrm{d}y$, como se puede ver mediante la comprobación de la diferencial:

$$ \mathrm{d}(xy) = x \mathrm{d}y + y \mathrm{d}x$$

El lado derecho sólo puede igualdad de $x \mathrm{d}y$ si estamos en un dgenerate situación donde $y \mathrm{d}x$ es idéntica a cero.

De hecho, $x \mathrm{d}y$ ni siquiera tiene una antiderivada. Una forma que tiene una antiderivada se debe necesariamente a una forma cerrada: su diferencial debe ser cero. Y no es cierto que esta forma:

$$ \mathrm{d}\left( x \mathrm{d} y \right) = \mathrm{d}x \mathrm{d}y $$

El lado derecho sólo puede igual a cero si existe una dependencia lineal entre el$\mathrm{d}x$$\mathrm{d}y$; por ejemplo, si uno es una función suave de otro, o ambos son suaves las funciones de una tercera variable.

---

Además, en las dimensiones superiores no es habitual el uso de la $\int$ señal para la antiderivada, porque la antiderivada no se asemeja a ninguna forma de la integral definida (por ejemplo, una ruta integral).

Uno podría emplear $\int$ algún tipo de parcial antiderivada, como la devolución de lo que la antiderivada sería bajo la premisa de que $x$ se mantiene constante. Y, de hecho, que es precisamente el valor que se le dio para $\int x \mathrm{d}y$.

Pero las nociones de parcial antiderivada no dar la antiderivada de la forma. (a menos, claro, que el problema real satisface la premisa parcial de la antiderivada; por ejemplo, si $x$ realmente es una constante, de modo que $\mathrm{d}x=0$)