Hay entero positivo $m$ tal $m=x_1^2+x_2^2$ y $m=y_1^2+y_2^2+y_3^2$ donde $x_i, y_j$ son números enteros de distinto de cero. He probado a mano para los diez números naturales pero no he podido encontrar tal $m$.
Estaría agradecido por la ayuda.
Respuestas
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mathguy
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Obviamente, si hay alguna solución a $a^2 =b^2 + c^2$, entonces puede añadir $x^2$ a ambos lados y obtener su $m$'s.
Por ejemplo, $25 + x^2 = 9 + 16 + x^2$ % de los números naturales todos $x$.
Usted puede incluso tener $m$ ser un perfecto cuadrado y una suma de dos cuadrados y una suma de tres cuadrados (tomar $x=12$ arriba).
Laplacian Fourier
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James Arathoon
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También pueden utilizar una fórmula para generar ejemplos; por ejemplo
$$m=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2+\left(a^2-c^2\right)^2=\left(a^2+c^2\right)^2+\left(2cb\right)^2+\left(a^2+b^2-c^2\right)^2$$
origina la identidad $$\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-\left(a^2+b^2-c^2\right)^2=\left(2ca\right)^2+\left(2cb\right)^2$ $ y usando $$\left(a^2+c^2\right)^2-\left(a^2-c^2\right)^2=\left(2ca\right)^2$ $
a la sustituir $\left(2ca\right)^2$
user11323
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He aquí una teoría de respuesta: cualquier prime $p$ de la forma $8k+1$ va a trabajar (esto le da una infinidad de ejemplos, incluyendo el ejemplo de 17 de Dietrich ejemplo).
¿Por qué es esto cierto?
En primer lugar, Fermat demostró que cualquier prime $p$ de la forma $8k+1$ (de hecho 1 mod 4) es de la forma $x^2+y^2$. Primos, no es una plaza por lo tanto $x, y$ debe ser distinto de cero para $x^2+y^2=p$.
Segundo, Fermat también demostró que cualquier prime $p$ de la forma $8k+1$ (de hecho 1 o 3 mod 8) es de la forma $x^2+2y^2$. De nuevo, no prime puede ser de la forma $x^2$ o $2y^2$, por lo que necesitamos ambos, $x,y$ cero para $x^2+2y^2=p$. A continuación, $p=x^2+y^2+z^2$ $z=y$ $x,y,z$ todo distinto de cero.
Dietrich Burde
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