Conjeturas sobre números primos

Question

Para $n,m \geq 3$, definir $ P_n = \{ p : p$ es un primo tal que $ p\leq n$$ p \nmid n \}$ .

Por ejemplo : $P_3= \{ 2 \}$ $P_4= \{ 3 \}$ $P_5= \{ 2, 3 \}$, $P_6= \{ 5 \}$ y así sucesivamente.

Reclamo: $P_n \neq P_m$$m\neq n$.

Mientras trabajaba en números primos he formulado este problema y se ha escapado de mí por un tiempo así que me decidí a publicar aquí. No estoy seguro de si esto es un problema abierto o resuelto. No pude encontrar nada que se parezca. Mis intentos no han llegado a buen término, aunque he estado tratando de probar por un tiempo. Si $m$ $n$ son diferentes de los números primos, entonces está claro. Si $m \geq 2n$, creo que podemos encontrar un alojamiento en medio para que el caso es tomado cuidado de. Mi opinión es que, finalmente, se reduce a probar que esta declaración para los números enteros que comparten los mismos factores primos. Mi código es el tipo de rusty así que agradecería que alguien comprobando si existe un contraejemplo a esta demanda. Cualquier idea si esto podría ser cierto o falso? Gracias.

Actualización: Lucía ha proporcionado una prueba condicional de la reclamación para los grandes enteros en mathoverflow. Por favor consulte

https://mathoverflow.net/questions/287011/a-conjecture-regarding-prime-numbers/287039#287039

Answer 1

Deje $m,n\ge 3$ ser dado y supongamos que $m\neq n$. Sin pérdida de generalidad, podemos decir que el $n>m$.

Suponga que hay números primos entre $m$$n$. Deje $p$ siendo el mayor número primo con $n>p\ge m$. Está claro que $p\not\in P_m$. Si $p\not\in P_n$, debemos tener $p\mid n$, lo $n\ge 2p$. Sin embargo, el postulado de Bertrand, nos dice que hay al menos un primer inbetween $p$$2p$, contradiciendo la definición de $p$. Llegamos a la conclusión de que $p\in P_n$$P_n\neq P_m$.

Ahora, decir que no hay números primos entre $n$$m$. Ahora, tenemos $P_n=P_m$ si y sólo si $rad(n)=rad(m)$. Decir $rad(n)=r$. Así que ahora tenemos $k,l\in\mathbb{N}$$n=kr$$m=lr$. Esta es la parte difícil. (De hecho, es muy duro, como se muestra en la respuesta a la repost en Mathoverflow)