Vienen 3 tranvías cada 10, 15 y 15 minutos. De media, ¿cuánto tiempo tengo que esperar para que venga algún tranvía?

Question

3 tranvías llegan a la parada cada 10, 15 y 15 minutos.
¿Cuánto tiempo de media tengo que esperar para que llegue el tranvía?

Es un problema práctico, no una especie de acertijo para el que tengo un truco de magia sorprendente o una respuesta. Realmente no lo sé. Estaba esperando un tranvía cuando se me ocurrió esta pregunta. Así que, si me preguntas, por ejemplo, "¿cómo circulan los tranvías?", mi respuesta será que no lo sé, que tengo los mismos (o menos) conocimientos sobre tranvías que tú. Asume algún modelo preciso (probablemente probabilístico;) y presenta la respuesta, por ejemplo "5 minutos" + mostrando cómo obtienes este resultado. La respuesta perfecta generalizará el problema, respondiendo a cuánto tiempo hay que esperar cuando los tranvías vienen cada $x_1, x_2, x_3...$ minutos. Pero incluso el problema básico no es tan fácil como parece, así que está advertido.

Answer 1

Hay (al menos) tres modelos de probabilidad razonables para este problema: (a) el modelo de proceso de Poisson (véase la respuesta de heropup), (b) la suposición de que los tranvías llegan a tiempo según un esquema conocido por el usuario (para ejemplos, véanse las respuestas de PhiNotPi y user1008646), y (c) la suposición de que los tranvías llegan a tiempo con fases desconocidas pero equidistribuidas. A continuación trataré el modelo (c).

El modelo (c) equivale a lo siguiente: Un punto aleatorio $P=(X,Y,Z)$ se elige en el bloque $$B:=\{(x,y,z)\>|\>0\leq x\leq15,\ 0\leq y\leq 15,\ 0\leq z\leq 10\}\ .$$ El tiempo de espera $T$ viene dada por $T=\min\{X,Y,Z\}$ . Los puntos $P$ con un tiempo de espera entre $t$ y $t+dt$ se encuentran en la unión de tres paneles rectangulares de espesor $dt$ y tener una distancia $t$ de los aviones $x=0$ , $y=0$ y $z=0$ respectivamente. El área de los dos paneles verticales es $(10-t)(15-t)$ y el área de la horizontal es $(15-t)(15-t)$ . Se deduce que la función de distribución de la probabilidad $f_T$ del tiempo de espera viene dado por $$f_T(t)={1\over2250}(525-80t+3t^2)\qquad(0\leq t\leq10)\ .$$ A partir de esto obtenemos el tiempo de espera esperado como $$E(T)=\int_0^{10} t\>f_T(t)\ dt={85\over27}\ .$$

Answer 2

EDIT: En caso de duda, ¡simule!

Escribí el siguiente programa de Mathematica (hace el trabajo, pero soy un poco novato en Mathematica).

a = {};
Do[b = RandomReal[]*15; c = RandomReal[]*15; 
 a = Append[a, 
   ContraharmonicMean[
    Differences[Sort[{0, 10, 20, 30, b, b + 15, c, c + 15}]]/
     2]], {100000}]
Print[Mean[a]]
Print[StandardDeviation[a]]

Básicamente, crea un desplazamiento aleatorio para los dos tranvías de 15 minutos, calcula la duración de los intervalos y el tiempo de espera, y encuentra la media ponderada. A continuación, repite esto $100000$ tiempos.

Los resultados fueron $3.147327637397844$ para la media y $0.33480521158615867$ para la desviación estándar. El $95\%$ El intervalo de confianza es (si he hecho bien las cuentas) de aproximadamente $3.145,3.149$ . (Tenga en cuenta que este fue el tiempo medio de espera, por lo que el intervalo medio es el doble).

EDIT: Un intento de simulación para encontrar el media mínima ha dado lugar a $2.66667$ . Esto coincide perfectamente con la respuesta del usuario1008646, que creo que da un tipo de horario ideal.

---

Respuesta original:

Estoy suponiendo que los tranvías empiezan todos juntos, así:

1: @.........@.........@.........@.........@.........@.........@
2: @..............@..............@..............@..............@
3: @..............@..............@..............@..............@
   time->

A partir de esto, podemos ver que hay un patrón que se repite compuesto por dos huecos de 10 minutos y dos huecos de 5 minutos.

Los intervalos de 10 minutos dan un tiempo medio de espera de 5 minutos, mientras que los intervalos de 5 minutos dan un tiempo medio de espera de 2,5 minutos. La probabilidad de quedar atrapado en un hueco de 10 minutos es el doble que en un hueco de 5 minutos, por lo que la media ponderada es:

$$5 \times \frac{2}3 + 2.5 \times \frac{1}3 = \frac{25}6$$

El tiempo medio de espera es de unos 4 minutos y 10 segundos.

Si los tranvías tuvieran una salida escalonada, la espera media sería menor.

Answer 3

Depende de su desplazamiento desde la parte superior de la hora. Como ha dicho PhiNotPi, si los tres llegan al principio de la hora, durante un periodo de 30 minutos, los trenes llegarán a las horas 10,15,20,30. Si se llega a una hora aleatoria durante esos 30 minutos, la espera media será de 25/6 minutos.

Si el primer tranvía llega al principio de la hora, el segundo a los 2 minutos de la hora y el tercero a los 8 minutos de la hora, los tiempos serán:

2,8,10,17,20,23,30

lo que ha dado lugar a una espera media mucho más corta, de 16/6 minutos.

Answer 4

Un método estadístico consiste en modelar el tiempo de llegada aleatorio de los trenes como tres procesos de Poisson. Así, los tiempos de interllegada de cada tren son variables aleatorias exponenciales IID $X_1$ , $X_2$ , $X_3$ con medios $\mu_1$ , $\mu_2$ , $\mu_3$ . El tiempo de espera aleatorio hasta el primero la llegada del tren es la estadística mínima (de primer orden) $X_{(1)}$ . Vemos que esto tiene una distribución de probabilidad $$F_{X_{(1)}}(x) = \Pr[X_{(1)} \le x] = 1 - \prod_{i=1}^3 \Pr[X_i > x] = 1 - e^{-Kx},$$ donde $K = \mu_1^{-1} + \mu_2^{-1} + \mu_3^{-1}.$ Por lo tanto, el estadístico de orden mínimo también es exponencial con media $1/K$ por lo que el tiempo medio de llegada del primer tren es $1/(\mu_1^{-1} + \mu_2^{-1} + \mu_3^{-1})$ . Para $\mu_1 = 10$ , $\mu_2 = 15$ , $\mu_3 = 15$ inmediatamente obtenemos ${\rm E}[X_{(1)}] = \frac{30}{7}$ .

Además, podemos ver que la suma de $n$ procesos de Poisson independientes (homogéneos) con tasas $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ es a su vez un proceso de Poisson con una tasa igual a la suma de las tasas individuales. Por lo tanto, el tiempo medio de espera para el siguiente evento es $\left( \sum_{i=1}^n \lambda_i \right)^{\!\!-1}.$

Answer 5

Supongo que mi idea es similar a la de Christian Blatter. Hice una simulación en R con los supuestos de que los autobuses llegan puntualmente cada 10 y 15 minutos, respectivamente. Sin embargo, el tiempo de intervalo entre los autobuses es fijo con tiempos de inicio uniformemente distribuidos. Simulo autobuses entre [0,10000] minutos y el tipo que llega a la parada en el tiempo t en [50,9950] y compruebo el tiempo mínimo hasta el siguiente autobús (que llega el primero de 3).

La mayoría de las veces obtengo un tiempo medio de espera mínimo en el rango de [3,11,3,16] minutos que cubre el valor de Blatters de 85/27 ~ 3,15.

upperbound <- 10000
waitVector <- vector()
nbRuns <- 10000
for(counter in 1:nbRuns) {
    seq1 <- 10*runif(1) + seq(from=0,to=upperbound,by=10)
    seq2a <- 15*runif(1) + seq(from=0,to=upperbound,by=15) # uniformly distributed, but fixed distance among buses
    seq2b <- 15*runif(1) + seq(from=0,to=upperbound,by=15) # uniformly distributed, but fixed distance among buses
    seq3 <- sort(c(seq1,seq2a,seq2b))
    arrivalTime <- runif(n=1,min=50,max=(upperbound-50))
    minSeq <- seq3 - arrivalTime
    minSeq <- minSeq[minSeq > 0] # cant catch bus who left before I arrived
    minTime <- min(minSeq)
    waitVector <- c(waitVector,minTime)     
}
minAvgWaitTime <- mean(waitVector)
print(range(waitVector))
print(paste("Minimum avg wait time base on ",nbRuns," simulations is: ",minAvgWaitTime,sep=""))