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Prob. 2, 1.4 segundos en Kreyszig ' s libro de análisis funcional: Cauchy cualquier secuencia con un subsequence convergente converge

Aquí es Prob. 2, Segundo 1.4 en el libro de introducción el Análisis Funcional Con las Aplicaciones por Erwine Kreyszig.

Si $\left( x_n \right)$ es de Cauchy y tiene un convergentes larga, digamos, $x_{n_k} \to x$, muestran que $\left( x_n \right)$ es convergente con el límite de $x$.

Mi esfuerzo:

Deje $(X, d)$ ser el espacio métrico en el que $\left( x_n \right)$ es una secuencia de Cauchy, y deje $\varphi \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ ser estrictamente una función creciente tal que la secuencia $\left( x_{\varphi(n)} \right)$ converge a un punto de $x$$X$. Y, podemos poner $$n_k = \varphi(k) \ \mbox{ for all } k \in \mathbb{N}.$$

Entonces, dado un número real $\varepsilon > 0$, podemos encontrar un número natural $N$ tal que $$ (1) \ \ \ \ d \left( x_m, x_n \right) < \frac{\varepsilon}{2} \ \mbox{ for any pair } (m, n) \mbox{ of natural numbers such that } m > N \mbox{ and } n > N.$$

Ahora, para cada una de las $k \in \mathbb{N}$, sabemos que $n_k = \varphi(k) \in \mathbb{N}$; por otra parte, $$ n_k = \varphi(k) < \varphi(r) = n_r \ \mbox{ if $k \in \mathbb{N}$, $i \in \mathbb{N}$, and $k < r$},$$ because $\varphi$ es estrictamente una función creciente.

Por lo tanto, $n_1 = \varphi(1) \in \mathbb{N}$$n_1 \geq 1$. Deje $k$ ser cualquier número natural, y supongamos que $$n_k = \varphi(k) \geq k.$$ Then since $\varphi$ is a strictly increasing function and since $k+1 \in \mathbb{N}$, por lo tanto, podemos concluir que $$n_{k+1} = \varphi(k+1) > \varphi(k) \geq k.$$ Pero $\varphi(k+1) \in \mathbb{N}$. Así que podemos concluir que el $\varphi(k+1) \geq k+1$. Por lo tanto, por inducción se sigue que $$n_k = \varphi(k) \geq k \mbox{ for all } k \in \mathbb{N}. $$

Así sabemos que, para cada una de las $k \in \mathbb{N}$, (i) $\varphi(k) \in \mathbb{N}$ y (ii) $\varphi(k) \geq k$.

Ahora desde $$\lim_{k \to \infty} x_{\varphi(k)} = \lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x, $$ por lo tanto, podemos encontrar un número natural $K$ tal que $$ (2) \ \ \ \ d\left( x_{n_k}, x \right) = d\left( x_{\varphi(k)}, x \right) < \frac{\varepsilon}{2} \ \mbox{ for any natural number } k \mbox{ such that } k > K.$$

Ahora vamos a $M$ ser cualquier número natural tal que $M > \max \left( K, N \right)$. Tal $M$ existe desde el conjunto de los números naturales no está delimitado por encima (o por el Archimedian propiedad de $\mathbb{R}$).

Deje $n \in \mathbb{N}$ tal que $n > M$. A continuación, tomamos nota de que $$n_{M+1} = \varphi(M+1) \geq M+1 > M > K$$ so that (2) can be used, and we also note that $$n_{M+1} \in \mathbb{N}, \ \ \ n \in \mathbb{N}, \ \ \ n_{M+1} > M > N, \ \ \ \mbox{ and } \ n > N$$ de modo que (1) puede ser utilizado.

Luego, a partir de (1) y (2) anteriores, vemos que,
$$ d\left( x_n, x\right) \leq d \left( x_n, x_{n_{M+1}} \right) + d \left( x_{n_{M+1}}, x \right) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,$$ para cualquier número natural $n > M$.

Así, hemos demostrado que, correspondiente a cada número real $\varepsilon > 0$, podemos encontrar un número natural $M$ tal que $$ d \left( x_n, x \right) < \varepsilon \ \mbox{ for any natural number } n > N.$$ Por lo tanto la secuencia de $\left(x_n \right)$ converge en el espacio métrico $(X, d)$ hasta el punto de $x \in X$.

Es la anterior prueba correcta? Si es así, entonces es la presentación lo suficientemente bueno? Si no, entonces, donde se encuentra la falla?

4voto

5xum Puntos 41561

La anterior prueba es correcta, pero hay un montón de partes que se pueden recortar. Por una parte, usted realmente no necesita introducir la función de $\phi$ a todos. Simplemente introduce la confusión, y siempre se puede escribir $n_k$ en lugar de $\phi(k)$ sin perder claridad.


Así, una recortada prueba:

Deje $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ ser una secuencia de Cauchy, y deje $(x_{n_k})_{k\in\mathbb N}$ ser convergente larga. También, vamos a $x=\lim_{k\to\infty} x_{n_k}$.

Deje $\epsilon > 0$.

A continuación,

  1. existe alguna $N$ que si $m,n\ge N$,$d(x_n, x_m)<\frac{\epsilon}{2}$.
  2. existe alguna $K$ que si $k\ge K$,$d(x, x_{n_k})<\frac\epsilon2$.

Set $N'$ a ser el primer valor de la secuencia $(n_K, n_{K+1},\dots)$ que es mayor que $N$, y deje $n>N'$.

  • Desde el punto (2), sabemos que $d(x, x_{N'})<\frac\epsilon 2$
  • Desde el punto (1), sabemos que $d(x_{N'}, x_n)\leq \frac\epsilon 2$ (debido a $N'>N$$n>N$.

A continuación, $$d(x, x_n) \leq d(x, x_{N'}) + d(x_{N'}, x_n) < \frac\epsilon 2 + \frac\epsilon2=\epsilon$$ y la prueba está de más.

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