¿Prueba innecesaria por autor?

Question

Aquí es el teorema yo trabajando en:

Deje $f(X), g(X) \in k[X] = k[x_1,...,x_n]$ donde $k$ es un infinito campo.

(i) Si $f(X)$ es distinto de cero, entonces no se $a_1,...,a_n \in k$$f(a_1,..,a_n) \neq 0$.

(ii) Si $f(a_1,...,a_n) = g(a_1,...,a_n)$ todos los $(a_1,...,a_n) \in k^n$,$f(X)=g(X)$.

Y aquí es el autor de la prueba de (ii):

Ya he probado la parte (i), y pensé que demostrar la parte (ii) implicaría una simple aplicación de (i) tal que así:

Deje $h(X) := f(X) - g(X)$. Entonces claramente $h(a_1,...,a_n) = 0$ por cada $(a_1,...a_n) \in k^n$, y por lo tanto $h(X)= 0(X) = 0$ o $f(X) = g(X)$.

Pero, como muestra la imagen, el autor hace algo un poco más complicado. ¿Hay algo malo con la prueba que me dio?

Answer 1

Tu argumento es correcto y de hecho es el argumento más natural en este contexto. El autor parece que sólo han dominado por alguna razón.