6 votos

xx es igual, como mínimo, a 51 de a1,a1+a22,,a1+a2++a100100 . Demostrar que 2 de a1,,a100 son iguales.

Si x es igual, como mínimo, a 51 número de la matriz a1,a1+a22,,a1+a2++a100100 , demuestre que 2 números de la matriz a1,a2,a100 son iguales.

Así es como se plantea originalmente el problema. No me dice si al menos o exactamente 2 números de la matriz a1,a2,a100 son iguales.

He pensado en una forma de definir el problema de otra manera:

Si n1,n2,,n100 es una matriz de números naturales distintos que pertenecen al intervalo [1;100] y kN , k50 y {n1x=a1+a2+an1n2x=a1+a2+an2n50+kx=a1+a2+an50+k , demuestre que 2 números de la matriz a1,a2,a100 son iguales.

No tengo ni idea por el momento de cómo podríamos llegar a una prueba que 2 números de la matriz a1,a2,a100 son iguales. Algunas ideas serían geniales. Gracias.

5voto

Erick Wong Puntos 12209

Dejemos que I sea el conjunto de todos los 0n100 tal que x1++xn=nx . Tenga en cuenta que 0 pertenece a I y lo mismo ocurre con el 51 (o más) otros valores indicados en la hipótesis, por lo que |I|52 .

Desde I es un subconjunto de {0,,100} con un tamaño mínimo de 52 debe contener al menos dos pares de elementos consecutivos. En otras palabras, hay distintos m,n tal que m,m+1I y n,n+1I . (Una forma de ver esto con claridad es considerar los espacios entre el primer 52 elementos: hay 51 espacios que suman como máximo 100 por lo que al menos dos de las separaciones deben ser 1 en lugar de 2 .)

Observe que siempre que r,r+1I tenemos que ar+1=x (ya que estás confundido, puedes comprobar que esto es válido para r=0 pero realmente es el mismo cálculo que cualquier r ). Así, con m y n elegido como arriba, tenemos am+1=an+1=x .

4voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Dejemos que A={kN0k100,a1++ak=kx}. Entonces A no sólo contiene los 51 índices dados, sino también, trivialmente, los siguientes 0A es decir |A|52 . Sea B=(NA)(A+1) . Entonces AB= y AB{0,1,,101} implica |A|+|B|102. Para cada k(A+1)A tenemos 1k100 y ak=(a1++ak)(a1+ak1)=kx(k1)x=x. Ahora (A+1)A=(A+1)(NA)=(A+1)B y |(A+1)B||A+1||B|=|A||B|2|A|1022 Muestra que hay al menos dos índices k con ak=x .

4voto

Soke Puntos 8788

Esto debería funcionar

Dejemos que bi denotan el i término de la secuencia.

Por el principio de encasillamiento, al menos dos términos consecutivos bn,bn+1 son iguales.

Si n es par, entonces necesariamente al menos otro par de términos consecutivos son iguales. Si bk,bk+1 son iguales, entonces se puede demostrar que an+1=ak+1

Si n es impar, entonces puede ser que bn,bn+1 es el único par. Si no lo fuera, entonces podemos concluir de forma similar a la anterior. Por lo tanto, consideremos bn,bn+1 siendo la única pareja. b1=a1 debe ser uno de los términos iguales a x (los términos iguales son a1=a3==an=an+1=an+3==a100 ). Además, a1+a2+a3++ann=a1+a2+a3++an+1n+1 Así que an+1=a1+a2+a3++ann=x . Así, an+1=a1 .

Por cierto, ¿sabes de dónde viene este problema? Parece un problema de la USAMO de los años 90.

3voto

GmonC Puntos 114

Se puede decir un poco más, no sólo dos de esos ai son iguales, en realidad dos de ellos son iguales x .

Es evidente que si dos medias consecutivas son iguales a x entonces el término añadido en la segunda media corrida fue igual a x . Obviamente, no se puede seleccionar 51 de 100 de promedios sin que esto ocurra al menos una vez (cada promedio seleccionado, excepto el último, bloquearía a su sucesor de la selección, lo que da 50×2+1 medias seleccionadas o bloqueadas, una de más). Si realmente ocurre más de una vez, entonces tenemos nuestras dos instancias de ai=x . Pero si uno quiere que ocurra sólo una vez, entonces por un argumento similar, cada uno de los 100 se seleccionan las medias en funcionamiento o el sucesor de una media seleccionada, cumpliéndose las dos condiciones simultáneamente una sola vez. Pero eso significa que se ha seleccionado la primera media corrida, lo que hace que a1=x que junto con la instancia ai=x para el índice i que fue a la vez seleccionado y el sucesor de un índice seleccionado da nuestras dos instancias.

Se puede evitar la distinción de los casos añadiendo una media corrida 0 declarado igual a x (con lo que el argumento "dos medias consecutivas iguales a x implica la segunda ai=x " sigue siendo válido), y argumentar al menos dos pares de medias elegidas consecutivas. Esto es esencialmente el respuesta de Eric Wong . Sólo quería mostrar que también se llega a la conclusión utilizando sólo un razonamiento sin fantasía.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X