Mesa de billar poligonal y distribución uniforme

Question

De acuerdo a este artículo en la Wikipedia: el billar es un sistema dinámico en el que una partícula se alterna entre el movimiento en línea recta y especular reflexiones a partir de un límite. Cuando la partícula golpea el límite se refleja a partir de ella sin pérdida de velocidad. Billar sistemas dinámicos son Hamiltonianos idealizaciones del juego de billar, pero en el que la región que contiene el límite puede tener formas distintas de rectangulares e incluso ser multidimensional.

Mi pregunta está motivada por un videojuego que he estado jugando últimamente, que puede ser visto en http://www.youtube.com/watch?v=LLLmfwxNJYU.

Esencialmente, la "física" de el juego consiste en varios billar en un polígono, y el jugador tiene que recortar las piezas del polígono, evitando el billar. También, la pieza de quita tiene que estar vacío de billar.

He estado asumiendo que la distribución de billar en el largo plazo, uniforme, en algunos mano que se agita sentido. Eso suponiendo que las primeras distribuciones y las velocidades son aleatorios. Es eso cierto, o puede que el polígono se forma de varias maneras para hacer que la distribución no uniforme? En otras palabras, son ciertas regiones de un polígono son más propensos a ser nula de otras regiones?

(Creo que un término como "ergodic" se aplica a esta, pero no estoy seguro de usar).

Answer 1

Un periódico de billar ruta de acceso es uno que vuelve a un punto con la misma dirección de la que había antes en ese punto. Una densa billar ruta de acceso es la que cubre toda la región. (Un periódico de billar ruta de acceso no es denso y por lo tanto no pueden estar distribuidos de manera uniforme.)

Muchos polígonos periódica de billar caminos. (Por ejemplo, cada triángulo agudo y cada triángulo rectángulo tiene un periódico de billar camino. Pero aún no se sabe si cada triángulo obtusángulo tiene un periódico de billar ruta de acceso). Por lo que es posible para un polígono de tener un camino que no es denso y por lo tanto no se encuentran uniformemente distribuidos.

Es posible que un billar camino a ser denso y sin embargo no estar distribuidos de manera uniforme. Esto es cierto para el triángulo con ángulos $0.4\pi,0.3\pi,0.3\pi$. (Véase, por ejemplo, el teorema 1.3 de http://homepages.math.uic.edu/~demarco/billar.pdf.)

También puede ser que desee visitar http://mathoverflow.net/questions/53641/dense-orbits-in-billiards.

Answer 2

Estoy de acuerdo con Joel respuesta, pero no aborda la cuestión de direcciones al azar. Véase la primera frase del

http://arxiv.org/pdf/math/0701658.pdf

la cual fue publicada. Racional, billar (es decir, todos los ángulos de un racional múltiples de $\pi$), la dinámica es ergodic en casi todas las direcciones, y, en particular, es uniformemente distribuida en el espacio.

Se sabe mucho menos acerca de irracional polígonos; es posible que esta es una pregunta abierta.