Si $m$ divide a $n$, encuentra una resolución libre de $\mathbb{Z}/m$ como un módulo $\mathbb{Z}/n$.

Question

Si $m$ divide a $n$, encuentra una resolución libre de $\mathbb{Z}/m$ como un $\mathbb{Z}/n$-módulo.

He intentado esto y obtuve $0 \leftarrow \mathbb{Z}/m \leftarrow \mathbb{Z}/n \leftarrow \mathbb{Z}/n$.

El mapa $\mathbb{Z}/n \to \mathbb{Z}/n$ es la multiplicación por $m$, pero no pude avanzar más. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Si $m = n$, entonces $0 \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \xrightarrow{\operatorname{id}} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to 0$ es una resolución libre. Si $m < n$, será útil escribir $n = km$, donde $k > 1.

El primer paso de la resolución se ve como $F_0 \xrightarrow{\epsilon} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to 0$ para algún módulo libre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ - $F_0$. La exactitud en $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ nos dice que $\epsilon: F_0 \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ es sobreyectivo, como tal, $F_0 \neq \{0\}$, el módulo libre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ de rango cero. Veamos si podemos tomar $F_0$ para ser el módulo libre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ de rango uno, es decir, $F_0 = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Como $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es cíclico, cualquier homomorfismo de anillos $\epsilon: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ está completamente determinado por $\epsilon(1) \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Sin embargo, como $n1 = 0$ en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, necesitamos elegir $\epsilon(1) \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ tal que $n\epsilon(1) = 0$, pero eso es cierto para cualquier elección de $\epsilon(1)$ ya que $n\epsilon(1) = km\epsilon(1) = 0$ en $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Por lo tanto, podemos completar el primer paso de la resolución eligiendo $\epsilon(1) \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$; elijamos $\epsilon(1) = 1.

El segundo paso de la resolución se ve como $F_1 \xrightarrow{d_1} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \xrightarrow{\epsilon} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to 0$ para algún módulo libre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ - $F_1$. La exactitud en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ nos dice que la imagen de $d_1$ es igual al núcleo de $\epsilon$. Nota que

$$\ker \epsilon = \{a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \mid \epsilon(a) = 0\} = \{a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \mid a\epsilon(1) = 0\} = \{a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \mid a1 = 0\}.$$

Como $a1 = 0$ en $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ si y solo si $m \mid a$, $\ker \epsilon = \langle m \rangle = \{0, m, 2m, \dots, (k-1)m\} \cong \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$. Por lo tanto, la imagen de $d_1$ es isomorfa a $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$. En particular, $F_1$ no puede ser $\{0\}$; recuerda, $k > 1$. Como antes, intentemos con $F_1 = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Nos gustaría definir un mapa $d_1 : \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tal que $\operatorname{im} d_1 = \langle m \rangle$. Nuevamente, como $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es cíclico, es suficiente elegir $d_1(1) \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, y luego $\operatorname{im} d_1 = \langle d_1(1) \rangle$. Para asegurar $\langle d_1(1) \rangle = \langle m \rangle$, elige $d_1(1) = m. El mapa $d_1$ es simplemente la multiplicación por $m.

El tercer paso de la resolución se ve como $F_2 \xrightarrow{d_2} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \xrightarrow{\times\ m} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \xrightarrow{\epsilon} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to 0$ para algún módulo libre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ - $F_2$. La exactitud en el primer $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ nos dice que la imagen de $d_2$ es igual al núcleo de la multiplicación por $m$. Nota que $\ker(\times m) = \{a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \mid am = 0\}$. Como $am = 0$ en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si y solo si $k \mid a$, $\ker(\times m) = \langle k \rangle = \{0, k, 2k, \dots, (m-1)k\} \cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Por lo tanto, la imagen de $d_2$ es isomorfa a $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. En particular, $F_2$ no puede ser $\{0\}.

El cuarto paso de la resolución se ve como $F_3 \xrightarrow{d_3} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \xrightarrow{\times\ k} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \xrightarrow{\times\ m} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \xrightarrow{\epsilon} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to 0$ para algún módulo libre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ - $F_3$. La exactitud en el primer $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ nos dice que la imagen de $d_3$ es igual al núcleo de la multiplicación por $k$. Nota que $\ker(\times k) = \{a \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \mid ak = 0\}$. Como $ak = 0$ en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si y solo si $m \mid a$, $ker(\times k) = \langle m \rangle = \{0, m, 2m, \dots, (k-1)m\} \cong \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$. Por lo tanto, la imagen de $d_3$ es isomorfa a $\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$. En particular, $F_3$ no puede ser $\{0\}.

Como vimos al determinar $d_3$ anteriormente, la construcción comienza a repetirse. Podemos completar la resolución tomando todos los módulos libres de rango uno, y los diferenciales (los mapas $d_i$) alternando entre la multiplicación por $m$ y la multiplicación por $k$. Es decir, una resolución libre de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ como un módulo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es

$$\dots \xrightarrow{\times\ k} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \xrightarrow{\times m} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \xrightarrow{\times\ k} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \xrightarrow{\times m} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \xrightarrow{\epsilon} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to 0.$$