Derivaciones menos conocidas de fórmulas y teoremas conocidos

Question

¿Cuáles son algunas derivaciones menos conocidas de fórmulas y teoremas bien conocidos?

Lo pregunto porque recientemente encontré una nueva forma de derivar la fórmula cuadrática que no implicaba completar el cuadrado como se enseña comúnmente. Al hacerlo, me preguntaba qué otras pruebas y derivaciones de otras fórmulas han permanecido desconocidas para la mayoría de la gente. Ya sea porque la prueba es demasiado compleja o menos bonita, me sigue pareciendo interesante ver diferentes formas de resolver un problema. A mí me hace entender mejor las pruebas, y por lo tanto también me da una mejor comprensión de las mismas.

$$ \begin{align} &\text{Given a quadratic function } f:\\[0.1em] f &=ax^2+bx+c = a(x-r_1)(x-r_2) = ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2\\[0.1em] a &= a,\enspace \frac{b}{a} = -(r_1+r_2),\enspace \frac{c}{a} = r_1r_2\\[1em] f' &= 2ax+b, \enspace f'(x) = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a}\\[0.2em] \text{This is an}& \text{ extremum of } f \text{, and is equidistant from each root } r_1, \enspace r_2 \text{ as shown:}\\[0.4em] \frac{b}{a} &= -(r_1+r_2) \iff -\frac{b}{2a} = \frac{r_1+r_2}{2} \\[1em] \Rightarrow \enspace &\text{The roots are of the form } r= -\frac{b}{2a}\pm d\\[1em] \frac{c}{a} = r_1r_2 &= (-\frac{b}{2a}+d)(-\frac{b}{2a}-d) = \frac{b^2}{4a^2}-d^2\\[0.2em] \Rightarrow\enspace& d^2 = \frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a} = \frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\\[0.2em] \Rightarrow\enspace&d = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[1em] \text{Which yields }& r = -\frac{b}{2a}\pm d = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\enspace\square \end{align} $$

Answer 1

La parte de Teorema de Wilson que establece que $(p-1)!\equiv -1 {\mod p}$ para cualquier primo $p$ se demuestra normalmente agrupando elementos en el producto $(p-1)!$ con sus inversos, pero también admite una demostración mediante la teoría de Sylow mostrando primero que hay $(p-2)!$ Sylow $p$ -subgrupos de $S_p$ . Para ello, observe primero que un Sylow $p$ -subgrupo de $S_p$ se genera mediante una permutación de $p$ objetos, de orden $ p $ . Hay $(p-1)!$ de estos, y cada subgrupo es isomorfo a un grupo cíclico con $p$ elementos, que tiene $p-1$ generadores.

Por el tercer teorema de Sylow, tenemos entonces $(p-2)!\equiv 1 {\mod p}$ y el resultado es el siguiente.

Answer 2

En 1955, Hillel Furstenberg dio un topológico prueba para el hecho de que hay infinitamente muchos números primos que deriva una contradicción al observar que si sólo hubiera finitamente muchos, sería cerrado un cierto conjunto que por argumentos topológicos se sabe que no es cerrado.

La prueba completa se encuentra en aquí .

Answer 3

Aquí hay una prueba debida a Zagier de que todo primo $p = 4n + 1$ es la suma de dos cuadrados: En el conjunto finito $A = \{(x, y, z)\in \mathbb{Z}^{\geq 0}:\, p = x^2 + 4yz\}$ , defina $$f(x, y, z) = \begin{cases} (x + 2z, z, y - x - z) & \text{if $x < y - z$}; \\ (2y - x, y, x - y + z) & \text{if $y - z < x < 2y$}; \\ (x - 2y, x -y + z, y) & \text{if $x > 2y$}. \end{cases}$$ La función $f$ tiene exactamente un punto fijo: $(1, 1, n)$ . Cualquier involución $g$ de $A$ (es decir, función con $g = g^{-1}$ ) debe tener un número de puntos fijos $F_g$ igual a $\#A \pmod{2}$ , ya que $\frac{1}{2}\left(F_g + \#A\right)$ es un número entero por el teorema de Burnside. (En concreto, es el número de órbitas de $A$ en $g$ ). Así, la involución $(x, y, z) \to (x, z, y)$ debe tener también un número impar de puntos fijos; en particular, debe existir al menos un punto fijo $(a, b, b)\in A$ . Así, $p = a^2 + (2b)^2$ según sea necesario.

Answer 4

El Teorema de Cantor-Bernstein se demuestra más comúnmente usando un argumento que involucra a los enteros. De hecho, hay un prueba sencilla basado en un lema elemental de punto fijo.

Answer 5

El principio de delimitación uniforme afirma que la acotación puntual de una colección de operadores lineales continuos en un espacio de Banach implica una acotación uniforme (con respecto a la norma del operador).

Mientras que la prueba moderna más preferida -que se basa en Teorema de la categoría de Baire -es simple y elegante, existe en realidad una prueba más antigua basada en un argumento inductivo más transparente, más elemental, pero también más tedioso.

Es decir, si una colección de operadores lineales continuos no está acotada con respecto a la norma del operador, entonces se puede encontrar un punto en el que la acotación puntual también falla. La prueba consiste en construir una secuencia de operadores que muestren valores cada vez mayores en determinados puntos y, a continuación, "empujar" estos valores atípicos hasta el infinito para obtener un punto en el que se rompa la acotación puntual. En consecuencia, esta antigua prueba se ha acuñado como la técnica de la "joroba deslizante". Véase Megginson (1998, p. 49) para más detalles.