Demostrando que $\pi(2x) < 2 \pi(x) $

Question

En nuestra clase de teoría analítica de los números nos pusieron como tarea el siguiente problema: demostrar rigurosamente que para grandes $x$ el número de primos en $(1,x]$ supera a la de $(x,2x]$ .

En clase demostramos el teorema de los números primos, y luego procedimos a demostrar varios resultados como $\pi(x) = Li(x) +O(x^\theta \ln x)$ y la fórmula explícita para $\psi_1(x)$ .

Esto es claramente bastante intuitivo pero estoy perdido en cuanto a lo que puedo usar para probar el resultado. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Se puede demostrar que para $x \ge 11$ , $\pi(2x) < 2\pi(x)$

• Para $x=1$ no es cierto ya que $2\pi(1) = 0$ pero $\pi(2)=1$

• Para $x \in \{2,4,10\}$ , $2\pi(x)=\pi(2x)$

Pierre Dusart mostró que para $x \ge 60184$

$$\frac{x}{\ln{x}-1} < \pi(x) < \frac{x}{\ln {x}-1.1}$$

• Para la demostración, véase el teorema 6.9 aquí .

Para $a \ge 2$ , $\ln ax - 1.1 = \ln a + \ln x - 1.1 \ge \ln 2 - 1.1 + \ln x > \ln x - 0.41 > \ln x - 1$

Por lo tanto, se deduce que para $x \ge 60184, a \ge 2$ :

$$\pi(ax) < \frac{ax}{\log{ax}-1.1} < \frac{ax}{\log x - 1} < a\pi(x)$$

Por fuerza bruta, se puede demostrar que en todos los casos en que $x < 60184$ , $\pi(2x) < 2\pi(x)$ .

Aquí está el código java que utilicé para comprobarlo (añadiendo sólo una imagen):

Answer 2

Aunque esta no es mi principal área de estudio, creo que estamos atascados en probar $Li(2x)<2Li(x)$ (ignorando $O(x^{\theta}\ln(x))$ ) para grandes $x$ .

La definición de la integral logarítmica compensada es

$$Li(x)=\int_2^x\frac{dt}{\ln(t)}$$

Queremos tomar esto y demostrar que $Li(2x)<2Li(x)$ .

Desde $\frac{d}{dx}Li(x)=\frac1{\ln(x)}>0$ vemos que la integral logarítmica desplazada tiene una derivada positiva. Como $\frac{d}{dx}\frac1{\ln(x)}=\frac{-1}{x(\ln(x))^2}<0$ sabemos que esta función es cóncava.

Esto implica que para un tamaño suficientemente grande $x$ , $Li(2x)<2Li(x)$ desde $Li(x)$ es cóncavo. No estoy muy seguro de cómo hacer una prueba formal o lo que sea, pero me imagino que podemos ir en esa línea.

Si $Li(2x)<2Li(x)$ , yo pensaría que

$$\frac{d}{dx}Li(2x)<\frac{d}{dx}2Li(x)$$

$$\frac2{\ln(2x)}<\frac2{\ln(x)}$$

Y la última línea es mucho más fácil de probar.