Si algo es continua en topología

Question

Si $f : X \to \mathbb{R}$ es continua,

Quiero mostrar que $(cf)(x) = cf(x)$ es continuo, $c$ es una constante.

Tentativa: Si $f$ es continua, entonces queremos mostrar que la imagen inversa de cada conjunto abierto en $\mathbb{R}$ es un conjunto abierto de $X$. Elija un intervalo abierto en $\mathbb{R}$.

Eso es por lo que tengo. :(

Answer 1

Deje $g:\mathbb R\to \mathbb R$$g(y)=cy$. Su función es $g\circ f$. - Willie Wong

La continuidad de $g$ se muestra directamente la verificación de que la preimagen de cualquier intervalo abierto es un intervalo abierto. (El caso de $c=0$ es algo excepcional y no puede ser tratada por separado: constante de los mapas se ven fácilmente ser continua.)

Usted probablemente tendrá otras oportunidades para activar operaciones aritméticas en la composición: por ejemplo, el producto $fg$ es la composición del mapa de $(f,g):X\to\mathbb R^2$ con la multiplicación de mapa de $h:\mathbb R^2\to \mathbb R$ definido por $h(u,v)=uv$. Para mostrar que $fg$ es continua, basta comprobar la continuidad de la $h$.

Answer 2

Una respuesta alternativa, que no requiere que usted para demostrar que la composición de funciones continuas es continua:

Deje $U\subset\mathbb{R}$ ser abierto. De hecho, podemos suponer $U=(a,b)$ tomando el abierto de bolas como una base para $\mathbb{R}$.

Ahora,

$$ (cf)^{-1}(U) = \{ x\in X: \existe y\in(a,b): (cf)(x) = y\} = \left\{x\in X:\exists y\in(a,b): f(x)=\frac{y}{c}\right\} $$ $$ =\left\{x\in X: \existe z\in \left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right): f(x)=z\right\} $$

y esta última es, precisamente,$$f^{-1}\left\{\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right)\right\},$$ which is open since $ f$ es continua.