¿Por qué isn ' t este un predicado de verdad?

Question

Según Tarski del undefinability teorema, no hay aritmética fórmula que define la verdad en la aritmética (es decir, no hay ningún predicado $T$ tal que $g \iff T("g")$).

Yo sé que definir un predicado $T$, lo que parece ser un predicado de verdad. Mi pregunta sería, ¿cómo no?

Voy a considerar aritmética de las fórmulas que implican la $\lor, \lnot, \exists, =, +, *, -, S$ (la $S$, $+$, y $*$ considera que las relaciones en lugar de funciones).

$F(s,v)$ es una función de dos variables, donde a $s$ es una fórmula, y $v$ es asignaciones de variables, se define como sigue, de forma recursiva:

• Si $s$ es una disyunción de la forma $A \lor B$, y, a continuación, $F(s)=1$ si $F(A,v)=1$ o $F(B,v)=1$. De lo contrario, $F(s)=0$
• Si $s$ es una negación de la forma$\lnot A$, $F(s,v)=1-F(A,v)$
• Si $s$ es una verdadera declaración de la forma$\exists x.A$,$F(s,v)=1$, si hay un número $n$ tal que $F(A,v')=1$ donde $v'$ $v$ con el agregado de la asignación que $x=n$. De lo contrario,$F(s,v)=0$.
• Si $s$ es una declaración de la forma $x=y$, $S(x,y)$, $+(x,y,z)$, $*(x,y,z)$, a continuación, $F(s,v)=1$ si las respectivas afirmaciones son verdaderas en el uso de las asignaciones de las variables de $v$. De lo contrario,$F(s,v)=0$.

Esta función está bien definida, ya que la duración de las fórmulas son finitos.

A continuación, una declaración de $s$ es verdadera si $F(s,e)=1$ donde $e$ no es libre de asignaciones de variables, y $s$ es false de lo contrario. Mi pregunta es, lo que no esta de definir un predicado de verdad? Parece satisfacer Tarski de la definición de la verdad.

He probado la aplicación del teorema de Tarski directamente a este predicado, simplificando hasta que he encontrado el error, pero esto resultó en una gran declaración (pues ello implicaría Goedel de numeración) y sería muy difícil para simplificar la mano. ¿Hay alguna manera más sencilla de encontrar el error en $T$?

Answer 1

Su definición propuesta no puede ser llevado a cabo en el primer orden lenguaje de la aritmética. Recordemos que podemos definir de forma recursiva de una función de $G:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ diciendo $G(n)$ es la única $m$ tal de que existe una secuencia finita $(a_0,\dots,a_n)$ de la longitud de la $n$ la satisfacción deseada de la recursividad con $m=a_n$. Podemos hacer esto en el lenguaje de la aritmética desde secuencias finitas de números naturales pueden ser codificados usando solo números naturales utilizando Gödel de la función beta.

Sin embargo, en su caso, se define no sólo una secuencia de números, sino una secuencia de funciones. Es decir, cada una de las $a_i$ en la secuencia de $(a_0,\dots,a_n)$ por su recursividad debe ser toda una función de $v\mapsto F(s_i,v)$ que envía una variable de asignación para el valor de verdad de la $i$th fórmula $s_i$ en virtud de que la variable de asignación. Usted realmente necesita esta función, y no sólo un número finito de valores de la misma, ya que por su recursividad en el caso de que $s$ $\exists x.A$ usted necesita utilizar los valores de $F(A,v')$ para todas las opciones apropiadas de $v'$. Así que con el fin de definir de forma recursiva su $F$, sería necesario cuantificar las funciones de los números naturales y no solo de números naturales.