¿Está muy lejos de ZFC Cohen ' segundo modelo s?

Question

Recordemos que Cohen segundo modelo añade conjuntos de genéricos reales tales que hay una contables de la familia de los pares con ninguna función de elección, es decir, un surjective función de $f: A \to \omega$ de manera tal que cada una de las fibras de de $f$ es un 2-elemento de conjunto y $f$ no tiene ninguna sección.

Claramente en la categoría de conjuntos derivados de dicho modelo, dado un mapa de $g:B \to \omega$, con una sección de $s:\omega \to B$ (por ejemplo, un isomorfismo), un surjective mapa de $p:E \to B$ y un mapa de la $h:E \to A$ tal que $f\circ h = g\circ p$, entonces sabemos que $p$ no tiene ninguna sección. Por lo tanto, hay un montón de ejemplos de violaciones de los CA, a pesar de la existencia de $s$ es claramente problemática.

Pero, ¿alguna más débiles de la elección de los principios de la retención en este modelo?

Answer 1

El axioma de elección se rompe bastante malo en este modelo, algunos callejeros observaciones:

1. El axioma de elección para los contables de las familias de conjuntos finitos. Esto implica romper casi cualquier viable forma de "elección de la función para X familias" tipo de principio, en vez de todos los Dependientes de la Elección de los principios.

2. Existe una infinita Dedekind conjunto finito, por lo tanto no todo conjunto infinito tiene una contables subconjunto.

3. El principio de ordenación falla, no todos pueden ser linealmente ordenado. En la extensión de que el Booleano Primer Ideal Teorema se rompe

No estoy seguro acerca de otras elección de los principios que usted tiene en mente, y puesto que hay tan muchos de ellos sería una mejor idea de si el punto en qué tipo de elección de los principios que usted está buscando.

Tengo varias conjeturas, que todavía no he sido capaz de confirmar y por lo tanto, voy a actualizar esto durante el día (o la semana) como he avances en la localización de las referencias:

1. Si usted considera KWP principios, donde KWP($k$) dice que para todo hay algunos ordinal $\alpha$ tal que $|x|\le\mathcal P^k(\alpha)$ ($k$-th iteración de la potencia de operación de conjunto); sospecho que KWP(3) debe mantener en este modelo.

   Vale la pena señalar que KWP(2) ya que falla en este modelo, ya que implica el principio de orden que, como las anteriores observaciones explicar, no.

2. Cada conjunto infinito puede ser asignada surjectively en $\omega$.

Ya que ambos principios no son trivialmente concluyó en este modelo se le exigiría probablemente algunos meterse con las definiciones de la obligando a los y las permutaciones de los mismos.

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Actualización I:

Se utiliza la siguiente afirmación parcialmente probar mi primera conjetura:

• Supongamos $A,B$ se establece a continuación,$|\mathcal P(A)\times\mathcal P(B)|\le\mathcal P(A\times B)$, la prueba es por la inyección de $\langle X,Y\rangle\mapsto X\times Y$.

En Consecuencias del Axioma de Elección se dice que SVC tiene en este modelo, se desprende también de diferentes argumentos en Blass original de papel [1]. No he podido encontrar una referencia directa a lo que es el conjunto que resulta de SVC en este modelo, como Blass escribe que uno necesita estudiar un conjunto genérico.

Sin embargo, bajo la (razonable?) suposición de que este es el conjunto de calcetines (denotado por $S$), que es el conjunto que se puede dividir en countably muchos pares sin una función de elección. Cada calcetín es un conjunto de reales para la colección de todos los calcetines es un conjunto de conjuntos de números reales, que es $S\subseteq\mathcal P^2(\omega)$

Ahora el SVC($S$) axioma dice que por cada $x$ hay un ordinal $\alpha$ tal que $|x|\le^* |S\times\alpha|$. Esto significa que $|x|\le2^{|S\times\alpha|}$ (considere el $f$ a ser el surjection garantizado, considere el mapa enviar a $a\in x$ a su fibra en $f$).

Ahora tenemos por las reivindicaciones anteriores y el hecho de que $x\le y\rightarrow 2^x\le2^y$:

$$\mathcal P(S\times\alpha)\le \mathcal P^2(\mathcal P(\omega)\times\alpha))\le \mathcal P^2(\mathcal P(\omega)\times\mathcal P(\alpha))\le \mathcal P^3(\omega\times\alpha)$$

También podemos suponer sin pérdida de generalidad que $\omega\times\alpha$ es equipotente con $\alpha$. Esto implica que KWP(3) sostiene que en este modelo si mi suposición era correcta y $S$ fue tomado como el anterior.

Esto también muestra que en la KWP($k$) "métrica" el segundo modelo de Cohen no es muy lejos de ZFC, aunque este es de hecho muy diferente métrica de lo normal.

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Bibliografía:

1. Andreas Blass, Inyectividad, Projectivity, y el Axioma de Elección. Transacciones de la Sociedad Matemática Americana, Vol. 255, (Nov., 1979), pp 31-59