Cómo mostrar $f(x) \leq 1+\frac{\pi}{4}$ cada $x \geq 1$

Question

Supongamos que $f$ es una función diferenciable real-valued definida en $[ 1,\infty)$ $f(1)=1$. Supongamos, además, satisface que $f$ $$f'(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}$ $ muestran que $f(x) \leq 1+\frac{\pi}{4}$ cada $x \geq 1$.

Ensayo: trato de encontrar el valor máximo de $f(x)$ pero aquí $f'(x)=0$ no tiene solución.

Answer 1

como dijo david: de la condición dada $f'(x)={1\over x^2+f^2(x)}$, se desprende que % es positivo en $f'$ $[1,\infty)$. Así que va en aumento $f$ $[1,\infty)$, y desde $f(1)=1$, tenemos $f(x)\ge1$ $[1,\infty)$. La condición anterior también implica que $f'$ continua en $[1,\infty)$. Así tenemos $$ f (t)-f (1) = \,dx\le \int_1^\infty{1\over \int_1^t {1\over x^2+f^2(x)} 1 + x ^ 2} x\ \,dx=\tan^ {-1}, \bigl|_1^\infty= {\pi\over 4}; $$ donde se sigue el resultado.