Sé que conocimientos básicos de álgebra grado hasta la teoría de galois de las extensiones finitas. Quiero aprender teoría de números, pero también como álgebra. Este semestre tengo que elegir para leer álgebra conmutativa o Álgebra no conmutativa. ¿Alguien me puede decir brevemente la naturaleza de ambos y lo que llevan? Quiero saber lo que tratan y en qué manera son importantes en teoría del número. ¡Gracias!
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Goethe
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Si usted está interesado en la teoría de números, el álgebra conmutativa, será mucho más útil para usted en el futuro inmediato. Sabiendo cierta cantidad de álgebra no conmutativa (es decir, Wedderburn teoría) será necesario más adelante en su matemáticos de la vida, pero ahora que usted necesita saber cosas acerca de los dominios de Dedekind. Esto implica conocer el significado de las palabras dimensión de Krull, Noetherian, y integralmente cerrado significa. Estos son todos los álgebra conmutativa términos.
Oh, agregar acerca de "lo que somos", permítanme decir lo siguiente. Álgebra conmutativa es, así, el estudio de anillos conmutativos. La relación con (algebraica) de la teoría de números, es lo que he mencionado anteriormente. La clave de los objetos de estudio básicos de la teoría de los números son el número de anillos de $\mathcal{O}_K$. La mera definición de estos objetos requiere el álgebra conmutativa noción de "integral de cierre". El comienzo de todo el tema de la HORMIGA es la constatación de que el número de anillos son tipos especiales de anillos llamados "dominios de Dedekind".
Estos tienen la agradable definición de los dominios con la única factorización de ideales en primer ideales. Mientras que la definición es buena, es engorroso para probar cosas. Por lo tanto, a menudo se adopta el equivalente a la definición de un dominio de Dedekind es un dominio, que es el de la dimensión 1, Noetherian, y integralmente cerrado. Una vez más, el mero definiciones de estas palabras son conmutativas algebraicas en la naturaleza, y su estudio, y la posterior aplicación de estas ideas a número de anillos requiere algo no trivial de la cantidad de conocimientos de álgebra conmutativa.
También, álgebra conmutativa es una parte funcional de la matemática moderna, y es importante saber para ser capaz de hablar de manera inteligible acerca de un montón de temas.
El álgebra no conmutativa, al menos en su significado estándar, es el estudio de la no-conmutativa de los anillos y el resultado de la teoría. Esto es un poco más oscuro, y viene en la teoría de números mucho más tarde.
La aplicación principal en semi-número básico de la teoría que se me ocurre es el estudio de la (relativa) Brauer grupos de un campo de $K$. En particular, uno de los estudios centrales simple álgebras de más de $K$ hasta algo que se llama Morita equivalencia. Una vez más, la naturaleza misma de estas palabras es no conmutativa algebraicas, y uno de los teoremas fundamentales en su estudio básico es el de Weddurburn-teorema de Artin, que clasifica semisimple álgebras (así como algunos de los que rodean la teoría [por ejemplo, de Noether-Skolem]).
Pero, como he dicho, este no llegó hasta mucho más tarde en uno de los básicos de la teoría de los números de la carrera (que es muy visto en algo que se llama "campo de clase de teoría").
También, mientras que el álgebra no conmutativa es muy importante, se tomó en matemáticas, especialmente las más avanzadas de las matemáticas, es menos fundamental en los principios de las matemáticas. Esto puede ser, tal vez, debido a mis intereses particulares, pero en realidad parece ser una función de lo que está de moda ahora mismo.
Así que, para resumir lo anterior. Álgebra conmutativa no sólo será más útil para usted en la teoría de los números antes, pero va a transferir más fácilmente, y de manera útil, a otras áreas de la matemática que son propensos a aprender en el futuro cercano.
notpeter
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Te también señalo que el álgebra conmutativa es al menos la mitad de la Fundación de la geometría algebraica moderna. Se construyen los objetos de la geometría algebraica por pegadas una colección de estructuras geométricas asociadas a un comutativo anillo-para estudiarlas, uno debe saber mucho de álgebra conmutativa. Y si usted está interesado en ir muy lejos en teoría del número, probablemente usted querrá aprender eventualmente algunos geometría algebraica.
