Una pregunta sobre la transformada de Laplace

Question

Supongamos que tengo una variable aleatoria integrable positiva $X$ s.t. $$E[e^X]=+\infty$$ Ahora tomemos una serie con término general $p_n$ sumando a uno, y definir $$Z=\sum_{n>0}p_ne^{X_n}$$ y $U=\ln Z$ donde $X_n$ son copias i.i.d. de $X$ .

Ahora tengo dos preguntas:

1. Creo que $$\mathcal{L}_U(\lambda)=\cases{+\infty & if $\lambda >0 $ \\ 1 & otherwise}$$ ¿es eso cierto? (Aquí $\mathcal{L}_U (\lambda)$ es la transformada de Laplace de $U$ en $\lambda$ ). Mi prueba aquí es un fraude creo y antes de darla me gustaría ver las ideas de otras personas.
2. Si 1 es cierto, ¿puedo deducir de este hecho que $U$ no es integrable, ¿y por qué? (Aquí espero que sea cierto)

Saludos cordiales

Answer 1

He aquí un contraejemplo al 1. Supongamos que $p_n=0$ por cada $n\geqslant k+1$ entonces, para cada $n\leqslant k$ , $X_n\leqslant X_1+\cdots+X_k$ Por lo tanto $Z\leqslant\sum\limits_{n\leqslant k}p_n\mathrm e^{X_1+\cdots+X_k}=\mathrm e^{X_1+\cdots+X_k}$ por lo que $$\mathbb E(\mathrm e^{\lambda U})=\mathbb E(Z^\lambda)\leqslant\mathbb E(\mathrm e^{\lambda X})^k, $$ donde cada $X_n$ se distribuye como $X$ . La hipótesis es que $\mathbb E(\mathrm e^{X})$ es infinito. Supongamos que $\mathbb E(\mathrm e^{\lambda X})$ es finito para algún $\lambda$ en $(0,1)$ entonces $\mathbb E(\mathrm e^{\lambda U})$ también es finito. Un ejemplo de esta situación es cuando $X$ es exponencial con parámetro $\mu\leqslant1$ entonces $\mathbb E(\mathrm e^{\lambda X})$ es finito si y sólo si $\lambda\lt\mu$ .

He aquí un contraejemplo a 2. Considere una variable aleatoria positiva $Z$ tal que $\mathbb P(Z\geqslant z)\sim c/z^a$ cuando $z\to+\infty$ para algunos $a\gt0$ . Entonces $\mathbb E(\mathrm e^{\lambda Z})$ es infinito para cada $\lambda\gt0$ pero, si $a\gt1$ entonces $\mathbb E(Z)$ es finito.