¿Se puede definir el símbolo de Jacobi para números negativos?

Question

Soy auto-estudio de Irlanda/Rosen, pero la pregunta #5.36 no tiene sentido para mí. Pide

Muestran que la parte (c) de la Proposición 5.2.2 es cierto si $a$ es negativo y $b$ es positivo (ambos todavía impar).

Parte (c) de la Proposición dice que si $a$ es impar y positivo, así como a $b$, luego $$ \left(\frac{a}{b}\right)\left(\frac{b}{a}\right)=(-1)^{((a-1)/2)((b-1)/2)}. $$ Por cierto, estas son Jacobi símbolos, no símbolos de Legendre. Pero si $a$ es negativa, entonces la $\left(\frac{b}{a}\right)$ no está definido, por lo que yo sé, así que no entiendo lo voy a probar. Soy la incomprensión de la pregunta? Gracias.

Answer 1

Es el símbolo de Kronecker.

Un enfoque diferente es definir $\left( \frac{a}{-p} \right)$ la misma manera que $\left( \frac{a}{p} \right)$; después de todo, $-p$ es que un primer número y "modulo $-p$" funciona para lo mismo que "modulo $p$".