¿$X,Y\sim Poiss(\lambda)$ son IID R.V, cómo calcular $P(Y\geq 2X)$?

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Suponga que los tiempos que se tarda de dos estudiantes para resolver un cierto la tarea problema, de manera independiente e idénticamente distribuidas de acuerdo a la distribución de $Poiss(\lambda)$.

Encontrar la probabilidad de que uno de los estudiantes tendrá al menos dos veces como mucho el uno como el otro para resolver el problema.

Lo que yo hice: Desde $X,Y$ son independientes $$P_{Y|X}(y|x)=P(Y=y|X=x)=P(Y=y)$$

Dado un cierto valor, $k$$X$: La probabilidad de que toma el estudiante de segundo de al menos el doble de tiempo para hacer la tarea es $P(Y\geq2k)$.

Por lo tanto la probabilidad de que ocupa el segundo estudiante de al menos dos veces como mucho tiempo para hacer la tarea, de acuerdo a la Ley de total probabilidad, $$\sum_{k=1}^{\infty}P(X=k)P_{Y|X}(Y\geq2k|X=k)$$

$$=\sum_{k=1}^{\infty}P(X=k)\cdot P(Y\geq2k)$$

$$=\sum_{k=1}^{\infty}P(X=k)\cdot(1-P(Y<2k))$$

$$=\sum_{k=1}^{\infty}P(X=k)\cdot(1-\sum_{j=1}^{2k-1}P(Y=j))$$

$$=\sum_{k=1}^{\infty}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!}\cdot(1-\sum_{j=1}^{2k-1}e^{-\lambda}\frac{\lambda^{j}}{j!}))$$

y aquí es donde estoy atascado.

Por favor alguien puede ayudarme a seguir en el cálculo de esta cantidad, o tal vez sugerir un enfoque diferente ?

Answer 1

La probabilidad de que el segundo estudiante, $Y \sim \text{Poiss}(\lambda)$, independientemente toma por lo menos dos veces tan largo como el primer estudiante, $X \sim \text{Poiss}(\lambda)$, para terminar la prueba está dada por:

$$\displaystyle \mathbb{P}(Y \ge 2 X) = \sum_{x = 0}^{\infty} \sum_{y = 2x}^{\infty} f_X(x) \frac{1}{2} f_Y \left( \frac{1}{2} y \right )$$

$f_Y(y) = 0$ todos los $y \not \in \mathbb{N}_0$, por lo que escribir el equivalente a la suma de $y = 2x + 2u$

$$\displaystyle = \frac{1}{2} \sum_{x = 0}^{\infty} \sum_{u = 0}^{\infty} f_X(x) f_Y (x + u )$$

Esto se puede simplificar más la observación de que esta es una infinita suma de la correlación cruzada de $\left ( f_X \star f_Y \right )(u)$.

$$\displaystyle = \frac{1}{2} \sum_{u = 0}^{\infty} \left ( f_X \star f_Y \right )(u)$$

La correlación cruzada de dos distribuciones de Poisson da lugar a la Skellam de probabilidad de la función de masa de $\displaystyle f_S(x) = e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)} \left ( \frac{\lambda_1}{\lambda_2} \right ) ^ {x/2} I_{\lvert x \rvert}(2 \sqrt{\lambda_1 \lambda_2})$. Debido a que las dos variables aleatorias bajo consideración son yo.yo.d., esto se convierte en un auto-correlación de la simplificación de a $\displaystyle f_S(x) = e^{-2 \lambda } I_{\lvert x \rvert}(2 \lambda )$. (Observar el hecho de $\lambda > 0$ por definición). Donde $I_{x}(\cdot)$ es función modificada de Bessel de primera especie.

$$\displaystyle = \frac{1}{2} e^{-2 \lambda } \sum_{u = 0}^{\infty} I_{\lvert u \rvert}(2 \lambda )$$

La infinita suma, $\displaystyle \sum_{k = 1}^{\infty} I_{k}(x)$ reduce a $\frac{1}{2} \left ( e^x - I_0(x) \right )$, así:

$$\displaystyle \mathbb{P}(Y \ge 2 X) = \frac{1}{4} \left ( 1 + e^{-2 \lambda } I_0(2 \lvert \lambda \rvert) \right ) \quad \square$$

Answer 2

P (x > = 2y) = 1 P(x<2y) = 1-doble integral de 0 a infinitos integral desde 0 a 2y de (K ^ 2 * e ^ - kx - ky) dxdy = 1/3