Error en encontrar la suma de $1\cdot 2+3\cdot 4+ \cdots \text{to}\space n\space \text{términos}$

Question

Para encontrar la suma de la serie $1\cdot 2+3\cdot 4+ \cdots \text{a}\space n\space \text{términos}$
Mi enfoque,
Sea S=$1^2+2^2+3^2 + \cdots +n^2$
Si $n$ es par
S=$(1-2)^2+(3-4)^2+ \cdots +[(n-1)-n]^2+2(1 \cdot 2+3 \cdot 4+5 \cdot 6+ \cdots \text{a}\space \dfrac{n}{2}\space \text{términos})$
\=$\frac{n}2+2(1 \cdot 2+3 \cdot 4+5 \cdot 6+ \cdots \text{a}\space \dfrac{n}{2}\space \text{términos})$
Y sabemos que
$$S=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$$
Por lo tanto, $$2(1 \cdot 2+3 \cdot 4+5 \cdot 6+ \cdots \text{a}\space \frac{n}2\space \text{términos}) =\frac{n(n+1)(2n+1)}6-\frac{n}2$$
o $$2(1 \cdot 2+3 \cdot 4+5 \cdot 6+ \cdots \text{a}\space \frac{n}2\space \text{términos})=\frac{n}2.\frac{2n^2+3n-2}3$$
o $$(1 \cdot 2+3 \cdot 4+5 \cdot 6+ \cdots \text{a}\space \frac{n}2\space \text{términos})=\frac{n(n+2)(2n-1)}{24}$$
Pero, esta es la suma de $\dfrac{n}{2}$ términos. Para obtener la suma de $n$ términos, reemplazamos $n$ por $2n$
Así,
$$(1 \cdot 2+3 \cdot 4+5 \cdot 6+ \cdots \text{a}\space n\space \text{términos})=\frac{n(n+1)(4n-1)}6$$
Entonces, si la entrada de $n$ es par, el resultado debería ser correcto,
si $n=2$, suma (según la fórmula) = $7$
Sin embargo, la suma real es $14$ (=$1 \cdot 2+3 \cdot 4$).
¿Cuál es el error en el enfoque anterior?
EDICIÓN: Revisé mis cálculos y también he escrito los pasos, pero aún así la respuesta no es correcta. Por favor dime en qué paso está el problema.
Gracias por tu tiempo y paciencia.

Answer 1

Tenga en cuenta que $$\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} - \frac{n}{2} = \frac{n}{2}\frac{2n^{2} + 3n - 2}{3}$$ y si divide esta expresión por $2$ se supone que obtendrá $$\frac{n(n + 2)(2n - 1)}{12}$$ pero obtiene por error $$\frac{n(n + 2)(2n - 1)}{24}$$ Este es el origen del error. Si corrige este problema, obtendrá la fórmula correcta $$(1\cdot 2) + (2\cdot 4) + \cdots + \{(2n - 1)\cdot (2n)\} = \frac{n(n + 1)(4n - 1)}{3}$$

Answer 2

$$\sum_{m=1}^n (2m-1)(2m) = \frac{1}{3}n(n+1)(4n-1)$$

Answer 3

Un enfoque interesante y funcionará para todos los valores de n si lo haces correctamente.

La suma de los primeros n términos en la secuencia 1.2 + 3.4 + ... se calcula tomando primero la suma de 2n términos de la secuencia de sumas de cuadros (S en tu caso), restando n de ella y tomando la mitad.

digamos que n = 2 la suma de los primeros 4 cuadrados es 30 restar 2 y tomar la mitad 14.

para n = 3 la suma de los primeros 6 cuadrados es 91 restar 2 y tomar la mitad 44.

y así sucesivamente.

Tu método funciona, sin embargo cuando escribes "Combinando los resultados anteriores, tenemos," allí has cometido un error de cálculo.

Hay formas más simples de hacer el problema, sin embargo me gusta tu enfoque.