¿Si $f$ es ninguna parte diferenciable sigue que el $f$ es monótona en ningún momento?

Question

Deje $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser funciones continuas que es diferenciable. A partir de esta pregunta (¿existe un diferenciable en todas partes continua, monótona en algún lugar de la función?) Yo sé que es de la siguiente manera que $f$ es monótona en ningún intervalo.

Deje $x$ ser un número real. Decimos que $f$ es no decreciente en $x$ si hay un barrio de $x$, $N_x$, tal que $\frac{f(y)-f(x)}{y-x} \ge 0$ si $y \in N_x-\{x\}$.

Si una función es continua en todas partes y diferenciable en ningún lugar, de lo anterior se sigue que es monótono en ningún momento? Si este no es el caso puede usted por favor dar un contraejemplo?

Answer 1

Esto no sigue: aquí está una manera barata para modificar un determinado $f$ para que sea monótona en un punto. Considerar un local mínimo de $x_0$ $f$. Supongamos que $x_0=f(x_0)=0$. Entonces $f(x)\ge 0$en un barrio de % de $0$, lo $$ g (x) =\begin{cases} f(x) & x\ge 0\\ -f(x) & x<0 \end{casos} $ es monotono en $0$. Si soy espectacularmente mala suerte aquí, entonces ahora es diferenciable en $g$ $0$, pero entonces yo puedo definirla simplemente como $2f(x)$ $x\ge 0$.