Una pregunta sobre el nilradical

Question

He estado pensando en el nilradical y me pregunto si el nilradical es el ideal más pequeño y distinto de cero del anillo.

El motivo de mi pregunta es el siguiente:

Todo ideal contiene $0$ . Si $x \in R$ es nilpotente esto implica que $0 = x^n$ está en todo ideal y, por tanto, por un argumento de inducción ( $x \cdot x^{n-1}$ ), también lo es $x$ . Por tanto, el nilradical es un subconjunto de la intersección de todos los ideales distintos de cero. Por lo tanto es el ideal más pequeño del anillo.

Lo que no tengo tan claro es qué hacer con $0$ . Podría tomar la intersección sobre todos ideales, incluyendo $(0)$ y el nilradical seguiría siendo un subconjunto. Lo que sería una prueba (errónea) de que el nilradical es el ideal cero... ¡Muchas gracias por tu ayuda!

Answer 1

La respuesta de Zev es excelente, como siempre. Los siguientes ejercicios sirven para complementar la respuesta de Zev y mi comentario anterior.

El siguiente teorema es muy importante; se demuestra en la respuesta de Zev más arriba:

Teorema Sea $A$ sea un anillo conmutativo. El nilradical de $A$ es igual a la intersección de todos los ideales primos de $A$ .

Debes asegurarte de que entiendes este teorema y su demostración (dada en la respuesta de Zev más arriba) antes de intentar los siguientes ejercicios.

Ejercicio 1 : Sea $p,q$ sean ideales primos de un anillo conmutativo $A$ . Si $p\cap q$ es un ideal primo de $A$ demuestre que $p\subseteq q$ o $q\subseteq p$ . En términos más generales, demuestre que si $p_1,\dots,p_n$ son ideales primos de $A$ y si $p_1\cap\cdots\cap p_n\subseteq P$ entonces $p_i\subseteq P$ para algunos $1\leq i\leq n$ .

Ejercicio 2 : Sea $A$ sea un anillo conmutativo. Sea $\{p_i\}_{i\in I}$ sea una familia de ideales primos de $A$ totalmente ordenados por inclusión. Demostrar que $\bigcap_{i\in I} p_i$ es un ideal primo de $A$ .

Ejercicio 3 : Sea $A$ sea un anillo conmutativo. Un ideal primo $p$ de $A$ se dice que es un ideal primo mínimo de $A$ si no existe ningún ideal primo $q$ de $A$ contenida estrictamente en $p$ . Demostrar que si $P$ es un ideal primo de $A$ entonces existe un ideal primo mínimo $Q$ de $A$ contenida en $P$ . (Sugerencia: utilice el lema de Zorn y Ejercicio 2 .)

Ejercicio 4 : Si $A$ es cada uno de los siguientes anillos conmutativos, entonces determine el(los) ideal(es) primo(s) mínimo(s) de $A$ :

(a) $A$ es un dominio integral;

(b) $A=\mathbb{Z}/(n\mathbb{Z})$ para algún número entero positivo $n$ ;

(c) $A=k[x]/(f(x))$ para algún polinomio no constante $f(x)$ donde $k$ es un campo.

Ejercicio 5 (Desafío): Deje que $A$ sea un anillo noetheriano. Demostrar que $A$ tiene un número finito de ideales primos mínimos. (Pista: basta demostrar que el nilradical de $A$ es la intersección de un número finito de ideales primos de $A$ por Ejercicio 1 . Supongamos, por una contradicción, que no es así y observemos que el conjunto de ideales $I$ de $A$ que no sean la intersección de un número finito de ideales primos de $A$ no es vacío. Dado que $A$ es un anillo noetheriano, se deduce que existe un ideal $I$ de $A$ maximal con respecto a la propiedad de no ser una intersección de finitamente muchos ideales primos de $A$ . Derivar una contradicción).

Espero que te sirva de ayuda.

Answer 2

Es falso que todo elemento nilpotente de un anillo está contenido en todo ideal. Por ejemplo, en el anillo $R[x,y]/(x^n)$ donde $R$ es un anillo cualquiera y $n>1$ el elemento $x^n=0$ es todo ideal menos $x^r$ no está en ningún ideal de la forma $(g)$ para $g\in R[y]$ cuando $r<n$ por ejemplo. Para ser aún más concretos, consideremos el ejemplo de $\mathbb{Z}[x]/(x^2)$ en el que $x^2=0$ pero $x$ no está en el ideal generado por $2$ por ejemplo.

Además, "el ideal más pequeño distinto de cero del anillo" no tiene sentido para la mayoría de los anillos. Por ejemplo, en $\mathbb{Z}$ no existe ningún ideal mínimo distinto de cero; dado cualquier ideal distinto de cero $(n)$ el ideal $(2n)$ es menor y sigue siendo distinto de cero. Por tanto, hay no ideales mínimos distintos de cero en $\mathbb{Z}$ . En general, el poset de ideales distintos de cero puede tener muchos elementos mínimos: si $n\in\mathbb{Z}$ es un producto de $k$ números primos distintos $q_1,\ldots,q_k$ entonces $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tiene $k$ ideales mínimos distintos de cero, el $a_i\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ donde $a_i=q_1q_2\cdots q_{i-1}q_{i+1}\cdots q_k$ .

Qué es cierto es que el nilradical de $R$ es la intersección de todos los ideales primos del anillo $R$ (y esto incluye el ideal cero si $R$ es un dominio integral).

Esto se debe a que, si $P\subset R$ es un ideal primo, entonces $x^n=0\in P$ hace implican que $x\in P$ (por la definición de ideal primo), por lo que $$x\in\text{nil}(R)\implies x\in\bigcap_{P\subset R \text{ prime} }P,$$ y si $x\notin\text{nil}(R)$ entonces la colección $\Sigma$ de ideales de $R$ que no contenga $1,x,x^2,\ldots$ es un conjunto parcialmente ordenado bajo inclusión, y tiene algún elemento maximal $M$ (utilizando el lema de Zorn). Este elemento maximal $M$ debe ser un ideal primo, porque si $a\notin M$ y $b\notin M$ entonces $M+(a)$ y $M+(b)$ son ambos ideales de $R$ que contiene estrictamente $M$ por lo que contiene potencias de $x$ (porque $M$ es maximal entre los ideales que no contienen potencias de $x$ ). Así, el ideal $M+(ab)\supseteq (M+(a))(M+(b))$ contiene una potencia de $x$ Por lo tanto $M+(ab)$ contiene estrictamente $M$ Por lo tanto $ab\notin M$ . Así pues, hemos demostrado que $a,b\notin M\implies ab\notin M$ Así que $M$ es un ideal primo que no contiene $x$ y por lo tanto hemos demostrado $$x\notin\text{nil}(R)\implies x\notin\bigcap_{P\subset R \text{ prime} }P.$$ Por lo tanto $$\text{nil}(R)=\bigcap_{P\subset R \text{ prime} }P.$$

Los ejercicios de Amitesh también son excelentes, como siempre :)