¿ISN ' t este un epimorphism no sobreyectiva en la categoría de conjuntos?

Question

Estoy tratando de demostrar que una de morfismos en la categoría de conjuntos es épico el fib es un surjective función.

Recordemos que para los objetos $A,B,C$, $f \in \hom(A,B)$ es épico al $g_1 \circ f = g_2 \circ f \Rightarrow g_1 = g_2, \forall g_1, g_2 \in \hom(B,C)$.

Considere la posibilidad de $A= \{0\}, B= \{1,2\}, C=\{3\}$. Dado que sólo hay un elemento en $\hom(B,C)$, $g_1 \circ f = g_2 \circ f \Rightarrow g_1 = g_2, \forall g_1, g_2 \in \hom(B,C)$ es trivialmente satisfecho $\forall f \in \hom(A,B)$

En particular,

$f : A \rightarrow B $

$f(0) \mapsto 1$

es un epimorphism, sino $f$ no es surjective.

Me estoy perdiendo algo acerca de cómo las categorías se definen? O es simplemente falso que la original implicación es de dos caras?

Answer 1

Por el bien de una respuesta,

$f$ Ser un epimorphism, tiene que ser derecho-cancellative todos morfismos $B\to C$ % de objetos todos $C$.

Tomar el $C=\{3,4\}$. Definir el % de $f(0)=1$, como la anterior, que no es sobreyectiva. Definición de $g_1,g_2\in\operatorname{Mor}(B,C)$ $g_1(1)=3, g_1(2)=3$ y $g_2(1)=3,g_2(2)=4$. Entonces $g_1\circ f=g_2\circ f$ como son el constante funciones $A\to C$ con imagen $\{3\}$, $g_1\neq g_2$. Así $f$ tampoco es un epimorphism.