Prueba de

Question

Dónde puedo encontrar una prueba o cómo probar lo siguiente: $$\int_0^\infty x^{m-1}e^{-ax} \cos bx \ dx = \frac{\Gamma(m)}{(a^{2} + b^{2})^{m/2}}\cos\left(m\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)\right)

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Edit: creo que veo que la identidad para una cascada de integración por las piezas deja $$\int e^{-ax}\sin(bx)=\frac{1}{a^2+b^2}e^{-ax}(-a\sin(bx)-b\cos(bx))$ $$$ \int e^{-ax}\cos(bx)dx=\frac{1}{a^2+b^2}e^{-ax}(b\sin(bx)-a\cos(bx))

Answer 1

He aquí cómo Euler hizo esto (de E675, traducción disponible aquí). Empezamos con $$\int_0^{\infty} x^{m-1} e^{-x} \, dx = \Gamma(m).$$ El cambio de las variables de da $$\int_0^{\infty} x^{m-1} e^{-kx} \, dx = \frac{\Gamma(m)}{k^m}.$$

Euler ahora se supone que esto todavía funciona si $k=p \pm iq$ es complejo, siempre $p>0$. (Que no, pero esto necesita una aplicación de Cauchy teorema.) Entonces tenemos $$\int_0^{\infty} x^{m-1} e^{-(p \pm iq)x} \, dx = \frac{\Gamma(m)}{(p \pm iq)^m},$$ y si escribimos $p=f\cos{\theta}$, $q=f\sin{\theta}$, podemos aplicar la fórmula de Euler para obtener $$\int_0^{\infty} x^{m-1} e^{-(p \pm iq)x} \, dx = \frac{\Gamma(m)}{f^m}(\cos{m\theta} \mp i\sin{m\theta}).$$ Tomando la parte real nos da $$\int_0^{\infty} x^{m-1} e^{-px} \cos{qx} \, dx = \frac{\Gamma(m)}{f^m}\cos{m\theta},$$ y el resultado sigue invirtiendo las expresiones de $p$ $q$ en términos de$f$$\theta$.

Answer 2

Recordando % $\Gamma(z)=\int_0^\infty x^{z-1}e^{-x}dx$uno tiene $$\begin{eqnarray} &&\int_0^\infty x^{m-1}e^{-ax} \cos bx \; dx\\ &=&\Re\int_0^\infty x^{m-1}e^{-ax} e^{ibx} \; dx\\ &=&\Re\int_0^\infty x^{m-1}e^{-(a-ib)x} \; dx\\ &=&\Re\frac{1}{(a-ib)^{m}}\int_0^\infty x^{m-1}e^{x} \; dx\\ &=&\Re\frac{1}{(a-ib)^{m}}\Gamma(m)\\ &=&\frac{1}{(a^2+b^2)^{m/2}}\Gamma(m)\cos(m\tan^{-1}(\frac{b}{a}))\\ \end{eqnarray}$$