¿Puede existir el límite $\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)}{h^2}$ si no existe en $f'(x)$ $x$?

Question

La segunda derivada de $f$ puede ser escrito como

$$f''(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)}{h^2}$$

aunque también puede ser escrito como (de hecho, creo que esta es la definición de $f''(x)$):

$$f''(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f'(x + h) - f'(x)}{h}$$

A partir de la segunda expresión, parece claro que si $f'(x)$ no existe, $f''(x)$ no puede existir.

Sin embargo, la primera expresión no implica $f'(x)$, así que esto me pregunto: Si $f'(x)$ no existe en $x$ , el límite de $\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)}{h^2}$ $x$ existen?

¿Cómo se podía demostrar/refutar esto? Si esto fuera verdad, ¿cuáles serían algunos ejemplos?

Answer 1

El primer límite puede existir aunque la segunda no, pero esta no es la definición de $f^{\prime\prime}$. Por definición, $f^{\prime\prime}$ sólo se puede definir si es de $f^{\prime}$

Sin embargo, para los límites, considerar $$ f\colon x\in\mathbb {R} \mapsto\begin{cases} 0 & \text{ if } x < 0 \\ 1 & \text{ if } x = 0 \\ 2 & \text{ if } x > 0 \end{casos} $$

Answer 2

Un contraejemplo fácil es el caso de una función impar que no es diferenciable en $0$: que $f$ ser cualquier función impar (definida en $0$). Entonces: %#% $ #% por lo que son un montón de contraejemplo, por ejemplo, $$\lim_{h\to0}\frac{f(0-h)-2f(0)+f(0+h)}{h^2}=\lim_{h\to0}\frac{f(-h)+f(h)}{h^2}=0.$.