¿Existe un $(m,n)\in\mathbb N$ tal que $m^3-2^n=3$?

Question

Pregunta : ¿existe un $(m,n)\in\mathbb N$ tal que $m^3-2^n=3$?

Sé que no es $(m,n)\in\mathbb N$de % que $m^3-2^n=1$ y eso allí no es $(m,n)\in\mathbb N$ tal que $m^3-2^n=2$. Sin embargo, no tengo ninguna buena idea para resolver la cuestión. Me temo que puede ser una pregunta sin resolver famoso. Me gustaría saber las referencias pertinentes.

Answer 1

Este es Pillai la ecuación de $a^x-b^y=c$, que ha sido resuelto en muchos casos. Para una encuesta sobre los resultados de ver los papeles de Michael A. Bennett, Bugeaud y otros. Teorema $1.1$ en Bennetts papel aquí dice:

Teorema: Si $a, b$ $c$ son cero enteros con $a,b \ge 2$, luego Pillai la ecuación de $a^x-b^y=c$ tiene más de dos soluciones en los enteros positivos $x$$y$.

En realidad, para $1\le c\le 100$, Teorema $1.5$ dice que tenemos en la mayoría de las $1$ solución en nuestro caso (el caso de $m=1$ es trivial aquí).

Answer 2

Si $n$ es par, tenemos $$r^2=m^3-3$$ If $ n$ is odd, we have $2r^2=m^3-3$, which leads (on multiplying by 8) to $$y^2=x^3-24$$ These are both instances of Mordell's equation, $$y^2=x^3-k$$ Solutions to Mordell's equation have been tabulated for many values of $k$, certainly for all $k\le100$ y estoy seguro que se pueden encontrar buscando en la web de "Ecuación de Mordell".

Answer 3

Gracias a Gerry Myerson, he encontrado este. Por lo tanto, podemos ver que la respuesta a la pregunta es No.